Hazeem 反复同时抛掷两颗普通的均匀六面骰子。每次的得分是她得到的两个点数之和。

(a) 求 Hazeem 恰好需要抛掷这两颗骰子 5 次才能得到至少 8 分的概率。

(b) 求 Hazeem 抛掷这两颗骰子不超过 4 次便能得到至少 8 分的概率。

(c) 随机选取抛掷这两颗骰子的 8 次结果，求 Hazeem 得到至少 8 分的次数少于 3 次的概率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

两骰和8至12的结果数分别为5、4、3、2、1，总成功概率15/36。首次成功第5次需要前4次失败。

There are 36 equally likely ordered dice outcomes. Scores 8, 9, 10, 11 and 12 have respectively 5, 4, 3, 2 and 1 outcomes. Thus

The required probability is

不超过4次即前四次至少一次成功，取四次全部失败的补集。

也可按首次成功在第1至第4次分类求和。

Writing $p=\frac5{12}$ and $q=\frac7{12}$,

八次中成功次数服从二项分布，少于3次直接求0、1、2三项。

Let $S\sim\mathrm{B}\bigl(8,\frac5{12}\bigr)$ and write $p=\frac5{12}$, $q=\frac7{12}$. Then