题目

Problem

A competitor in a throwing event has three attempts to throw a ball as far as possible. The random variable $X$ denotes the number of throws that exceed 30 metres. The probability distribution table for $X$ is shown below.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$\mathrm{P}(X=x)$	$0.4$	$p$	$r$	$0.15$

(a) Given that $\mathrm{E}(X)=1.1$ , find the value of $p$ and the value of $r$ .

(3)

(b) Find the numerical value of $\operatorname{Var}(X)$ .

(2)

题目中文翻译

一名投掷项目的参赛者有三次机会，将球投得尽可能远。随机变量 $X$ 表示投掷距离超过 30 米的次数。 $X$ 的概率分布表如下。

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$\mathrm{P}(X=x)$	$0.4$	$p$	$r$	$0.15$

(a) 已知 $\mathrm{E}(X)=1.1$ ，求 $p$ 和 $r$ 的值。

(3)

(b) 求 $\operatorname{Var}(X)$ 的数值。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

概率总和为1与给定均值形成两个线性方程，相减可先求r。

答题过程

展开

Since the probabilities sum to 1,

p+r=1-0.4-0.15=0.45.

Using $\mathrm{E}(X)=1.1$ ,

p+2r+3(0.15)=1.1, \qquad p+2r=0.65.

Subtracting gives $r=0.20$ , and hence $p=0.45-0.20=0.25$ . Thus

\boxed{p=0.25,\qquad r=0.20}.

(b)

解法一

思路

展开

用(a)概率求二阶矩，再减去已知均值平方。

答题过程

展开

\mathrm{E}(X^2)=0.25+4(0.20)+9(0.15)=2.4.

Therefore

\operatorname{Var}(X)=2.4-(1.1)^2=\boxed{1.19}.

CIE 9709 2023 November Paper 52 Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程