题目

Problem

Becky sometimes works in an office and sometimes works at home. The random variable $X$ denotes the number of days that she works at home in any given week. It is given that

\mathrm{P}(X=x)=kx(x+1),

where $k$ is a constant and $x=1$ , $2$ , $3$ or $4$ only.

(a) Draw up the probability distribution table for $X$ , giving the probabilities as numerical fractions.

(3)

(b) Find $\mathrm{E}(X)$ and $\operatorname{Var}(X)$ .

(3)

题目中文翻译

Becky 有时在办公室工作，有时在家工作。随机变量 $X$ 表示她在任意一周中在家工作的天数。已知

\mathrm{P}(X=x)=kx(x+1),

其中 $k$ 是常数，且 $x$ 只能取 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 或 $4$ 。

(a) 列出 $X$ 的概率分布表，将概率写成数值分数。

(3)

(b) 求 $\mathrm{E}(X)$ 和 $\operatorname{Var}(X)$ 。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

代入四个取值，用概率总和为1求k，再给数值分数分布。

答题过程

展开

Since the probabilities sum to 1,

2k+6k+12k+20k=1, \qquad k=\frac1{40}.

Thus

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac1{20}$	$\frac3{20}$	$\frac3{10}$	$\frac12$

(b)

解法一

思路

展开

分别求一阶和二阶矩，方差用精确均值。

答题过程

展开

\mathrm{E}(X)=\frac{1(2)+2(6)+3(12)+4(20)}{40} =\frac{130}{40}=\boxed{\frac{13}{4}}.

Also,

\begin{align*} \mathrm{E}(X^2)=&\,\frac{1^2(2)+2^2(6)+3^2(12)+4^2(20)}{40}\\[4mm] =&\,\frac{454}{40}=\frac{227}{20}. \end{align*}

Therefore

\operatorname{Var}(X)=\frac{227}{20}-\biggl(\frac{13}{4}\biggr)^2 =\frac{908-845}{80}=\boxed{\frac{63}{80}}.

CIE 9709 2023 November Paper 53 Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程