题目

Problem

The random variable $X$ takes the values $-2$ , $-1$ , $0$ , $2$ , $3$ . It is given that $\mathrm{P}(X=x)=k(x^2+2)$ , where $k$ is a positive constant.

(a) Draw up the probability distribution table for $X$ , giving the probabilities as numerical fractions.

(3)

(b) Find the value of $\operatorname{Var}(X)$ .

(3)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 的取值为 $-2$ 、 $-1$ 、 $0$ 、 $2$ 、 $3$ 。已知 $\mathrm{P}(X=x)=k(x^2+2)$ ，其中 $k$ 是正常数。

(a) 列出 $X$ 的概率分布表，将概率写成数值分数。

(3)

(b) 求 $\operatorname{Var}(X)$ 的值。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

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将五个取值代入x²+2，利用概率总和为1求k。

答题过程

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The probabilities are $6k,3k,2k,6k,11k$ . Since their sum is 1,

28k=1,\qquad k=\frac1{28}.

Thus the distribution is

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$2$	$3$
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac3{14}$	$\frac3{28}$	$\frac1{14}$	$\frac3{14}$	$\frac{11}{28}$

(b)

解法一

思路

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分别算一阶矩和二阶矩，再用方差公式。

答题过程

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\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,\frac{-2(6)-3+2(6)+3(11)}{28} =\frac{15}{14},\\[4mm] \mathrm{E}(X^2)=&\,\frac{4(6)+3+4(6)+9(11)}{28} =\frac{75}{14}. \end{align*}

Therefore

\operatorname{Var}(X)=\frac{75}{14}-\biggl(\frac{15}{14}\biggr)^2 =\boxed{\frac{825}{196}}.

CIE 9709 2024 November Paper 51 Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程