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CIE 9709 2024 November Paper 52 Q1

A Level / CIE / S1

CIE 9709 2024 Nov Paper 52 Paper · Question 1

题目

Problem

At a college, the students choose exactly one of tennis, hockey or netball to play. The table shows the numbers of students in Year 1 and Year 2 at the college playing each of these sports.

TennisHockeyNetball
Year 1162212
Year 2241828

One student is chosen at random from the 120 students. Events XX and NN are defined as follows:

XX: the student is in Year 1

NN: the student plays netball.

(a) Find P(X∣N)\mathrm{P}(X\mid N).

(1)

(b) Find P(N∣X)\mathrm{P}(N\mid X).

(1)

(c) Determine whether or not XX and NN are independent events.

(1)

One of the students who plays netball takes 8 shots at goal. On each shot, the probability that she will succeed is 0.150.15, independently of all other shots.

(d) Find the probability that she succeeds on fewer than 3 of these shots.

(3)
题目中文翻译

在一所学院里，学生从网球、曲棍球和无挡板篮球中恰好选择一项运动参加。下表列出了该学院一年级和二年级参加各项运动的学生人数。

网球曲棍球无挡板篮球
一年级162212
二年级241828

从这 120 名学生中随机选出一人。事件 XX 和 NN 定义如下：

XX：该学生是一年级学生

NN：该学生参加无挡板篮球。

(a) 求 P(X∣N)\mathrm{P}(X\mid N)。

(1)

(b) 求 P(N∣X)\mathrm{P}(N\mid X)。

(1)

(c) 判断 XX 和 NN 是否为独立事件。

(1)

一名参加无挡板篮球的学生进行 8 次投篮。每次投篮成功的概率为 0.150.15，且各次投篮相互独立。

(d) 求她在这些投篮中成功少于 3 次的概率。

(3)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

已知参加无挡板篮球，样本空间缩为40人，其中12人是一年级。

答题过程

展开 P(X∣N)=1212+28=310.\mathrm{P}(X\mid N)=\frac{12}{12+28}=\boxed{\frac3{10}}.

(b)

解法一

思路

展开

已知一年级，分母为该年级50人。

答题过程

展开 P(N∣X)=1216+22+12=625.\mathrm{P}(N\mid X)=\frac{12}{16+22+12}=\boxed{\frac6{25}}.

(c)

解法一

思路

展开

独立要求交集概率等于边际概率的乘积，代入人数检验。

答题过程

展开 P(X∩N)=12120=110,\mathrm{P}(X\cap N)=\frac{12}{120}=\frac1{10},

whereas

P(X)P(N)=5012040120=536.\mathrm{P}(X)\mathrm{P}(N)=\frac{50}{120}\frac{40}{120}=\frac5{36}.

These are unequal, so XX and NN are not independent.

(d)

解法一

思路

展开

少于3次成功即0、1、2次，直接用二项分布求三项和。

答题过程

展开

Let S∼B(8,0.15)S\sim\mathrm{B}(8,0.15) count successful shots. Then

P(S<3)= (0.85)8+8(0.15)(0.85)7 +(82)(0.15)2(0.85)6= 0.894787…≈ 0.895.\begin{align*} \mathrm{P}(S<3)=&\,(0.85)^8+8(0.15)(0.85)^7\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\binom82(0.15)^2(0.85)^6\\[4mm] =&\,0.894787\ldots\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.895}. \end{align*}