题目

Problem

A fair coin and an ordinary fair six-sided dice are thrown at the same time. The random variable $X$ is defined as follows.

If the coin shows a tail, $X$ is twice the score on the dice.
If the coin shows a head, $X$ is the score on the dice if the score is even and $X$ is $0$ otherwise.

(a) Draw up the probability distribution table for $X$ .

(3)

(b) Find $\operatorname{Var}(X)$ .

(3)

题目中文翻译

同时抛掷一枚均匀硬币和一颗普通的均匀六面骰子。随机变量 $X$ 定义如下。

如果硬币出现反面，则 $X$ 为骰子点数的两倍。
如果硬币出现正面，且骰子点数为偶数，则 $X$ 为骰子点数；否则 $X$ 为 $0$ 。

(a) 列出 $X$ 的概率分布表。

(3)

(b) 求 $\operatorname{Var}(X)$ 。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

硬币与骰子共有12个等概率结果，先逐一对应X，再合并相同取值。

答题过程

展开

Each coin–dice outcome has probability $\frac1{12}$ . The values of $X$ are

Dice score	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Tail	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$
Head	$0$	$2$	$0$	$4$	$0$	$6$

Combining equal values gives

$x$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac3{12}$	$\frac2{12}$	$\frac2{12}$	$\frac2{12}$	$\frac1{12}$	$\frac1{12}$	$\frac1{12}$

(b)

解法一

思路

展开

从分布表分别求一阶矩、二阶矩，再相减。

答题过程

展开

\mathrm{E}(X)=\frac{2(2)+4(2)+6(2)+8+10+12}{12} =\frac{54}{12}=4.5.

Also,

\begin{align*} \mathrm{E}(X^2)=&\,\frac{2^2(2)+4^2(2)+6^2(2)}{12}\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\frac{8^2+10^2+12^2}{12}\\[4mm] =&\,\frac{420}{12}=35. \end{align*}

Hence

\operatorname{Var}(X)=35-(4.5)^2=\boxed{14.75}.

CIE 9709 2024 November Paper 52 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程