题目

Problem

The random variable $X$ takes the value $x$ with probability $kx^2$ , where $k$ is a constant and $x$ takes the values $-2$ , 1, 2, 3 only.

(a) Draw up the probability distribution table for $X$ , giving the probabilities as numerical fractions.

(3)

(b) Find $\mathrm{E}(X)$ .

(1)

(c) Find $\mathrm{P}(X\ne2\mid X>0)$ .

(2)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 取值 $x$ 的概率为 $kx^2$ ，其中 $k$ 为常数，且 $x$ 只取 $-2$ 、1、2、3。

(a) 列出 $X$ 的概率分布表，各概率用数值分数表示。

(3)

(b) 求 $\mathrm{E}(X)$ 。

(1)

(c) 求 $\mathrm{P}(X\ne2\mid X>0)$ 。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

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将四个可能值代入概率公式，用总概率为1求常数，再写成数值分数。

答题过程

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Since probabilities sum to 1,

k\bigl((-2)^2+1^2+2^2+3^2\bigr)=1, \qquad 18k=1.

Thus $k=\frac1{18}$ and the distribution is

$x$	$-2$	$1$	$2$	$3$
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac4{18}$	$\frac1{18}$	$\frac4{18}$	$\frac9{18}$

(b)

解法一

思路

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把每个可能值乘以其概率后相加，负值的贡献要保留负号。

答题过程

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\mathrm{E}(X)=\frac{(-2)(4)+1(1)+2(4)+3(9)}{18} =\frac{28}{18} =\boxed{\frac{14}{9}}.

(c)

解法一

思路

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已知X为正，分母只包含1、2、3；其中不等于2的只有1、3。

答题过程

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\begin{align*} \mathrm{P}(X\ne2\mid X>0) =&\,\frac{\mathrm{P}(X=1)+\mathrm{P}(X=3)} {\mathrm{P}(X=1)+\mathrm{P}(X=2)+\mathrm{P}(X=3)}\\[4mm] =&\,\frac{(1+9)/18}{(1+4+9)/18}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac57}. \end{align*}

CIE 9709 2025 November Paper 51 Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程