题目

Problem

A factory produces chocolate bars. The weights of the bars are normally distributed with mean $155\,\mathrm{g}$ and standard deviation $6\,\mathrm{g}$ . A random sample of 350 of these bars is chosen.

(a) How many of these 350 bars would you expect to weigh between $148\,\mathrm{g}$ and $160\,\mathrm{g}$ ?

(4)

A second factory also produces chocolate bars. The weights of these bars are normally distributed with mean $\mu\,\mathrm{g}$ and standard deviation $\sigma\,\mathrm{g}$ . Tests show that 8% of the bars weigh more than $114.0\,\mathrm{g}$ and 20% weigh less than $99.5\,\mathrm{g}$ .

(b) Find the value of $\mu$ and the value of $\sigma$ .

(5)

题目中文翻译

某工厂生产巧克力棒。巧克力棒的重量服从正态分布，平均数为 $155\,\mathrm{g}$ ，标准差为 $6\,\mathrm{g}$ 。随机抽取其中 350 根。

(a) 预计这 350 根中有多少根的重量介于 $148\,\mathrm{g}$ 与 $160\,\mathrm{g}$ 之间？

(4)

第二家工厂也生产巧克力棒。这些巧克力棒的重量服从正态分布，平均数为 $\mu\,\mathrm{g}$ ，标准差为 $\sigma\,\mathrm{g}$ 。检测表明，8% 的重量大于 $114.0\,\mathrm{g}$ ，20% 的重量小于 $99.5\,\mathrm{g}$ 。

(b) 求 $\mu$ 和 $\sigma$ 的值。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

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先标准化两个重量边界求区间概率，再乘350得到预计根数，并取整数。

答题过程

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Let $W\sim\mathrm{N}(155,6^2)$ denote weight in grams. Then

\begin{align*} \mathrm{P}(148<W<160) =&\,\mathrm{P}\biggl(\frac{148-155}{6}<Z<\frac{160-155}{6}\biggr)\\[4mm] =&\,\Phi(5/6)-\Phi(-7/6)\\[4mm] =&\,0.675999\ldots. \end{align*}

The expected number is $350(0.675999\ldots)=236.599\ldots$ , giving 237 bars.

(b)

解法一

思路

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超过114的概率是0.08，所以左尾概率为0.92；99.5对应左尾0.20。两条标准化等式相减先求标准差，再求均值。

答题过程

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The given probabilities imply

\mathrm{P}(W<114)=0.92,\qquad \mathrm{P}(W<99.5)=0.20.

Thus

\begin{align*} 114-\mu=&\,1.405071\ldots\,\sigma,\\[4mm] 99.5-\mu=&\,-0.841621\ldots\,\sigma. \end{align*}

Subtracting,

\begin{align*} 14.5=&\,(1.405071\ldots+0.841621\ldots)\sigma,\\[4mm] \sigma=&\,6.453930\ldots. \end{align*}

Then $\mu=114-1.405071\ldots\,\sigma=104.931765\ldots$ . Therefore,

\boxed{\mu\approx105,\qquad\sigma\approx6.45}.

CIE 9709 2025 November Paper 51 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程