题目

Problem

A fair red spinner has 4 sides, numbered 1, 2, 3, 4. A fair blue spinner has 4 sides, numbered 0, 1, 2, 3. When a spinner is spun, the score is the number on the side on which it lands. The two spinners are spun at the same time.

The random variable $X$ denotes the higher of the two scores obtained. If the two scores are equal, then the value of $X$ is 0.

(a) Draw up the probability distribution table for $X$ .

(3)

(b) Find $\operatorname{Var}(X)$ .

(3)

The red spinner, with sides numbered 1, 2, 3, 4, is spun repeatedly.

(c) Find the probability that it lands on 4 for the first time before the 8th spin.

(2)

题目中文翻译

一个均匀的红色陀螺有 4 个面，分别标有 1、2、3、4。一个均匀的蓝色陀螺有 4 个面，分别标有 0、1、2、3。转动陀螺时，其得分为停下时所落在的那一面上的数字。同时转动这两个陀螺。

随机变量 $X$ 表示所得两个分数中的较大者。若两个分数相等，则 $X$ 的值为 0。

(a) 列出 $X$ 的概率分布表。

(3)

(b) 求 $\operatorname{Var}(X)$ 。

(3)

反复转动各面标有 1、2、3、4 的红色陀螺。

(c) 求在第 8 次转动之前首次得到 4 的概率。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

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列出16个等可能的分数组合。两分数相同必须记为0，不能误记为该分数；其余结果取较大值。

答题过程

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The values of $X$ for the 16 equally likely pairs are:

Red \ Blue	$0$	$1$	$2$	$3$
$1$	$1$	$0$	$2$	$3$
$2$	$2$	$2$	$0$	$3$
$3$	$3$	$3$	$3$	$0$
$4$	$4$	$4$	$4$	$4$

Hence

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac3{16}$	$\frac1{16}$	$\frac3{16}$	$\frac5{16}$	$\frac4{16}$

(b)

解法一

思路

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由(a)计算均值和二阶矩，再用方差等于二阶矩减均值平方。

答题过程

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\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,\frac{0+1+6+15+16}{16}=\frac{19}{8},\\[4mm] \mathrm{E}(X^2)=&\,\frac{0+1+12+45+64}{16}=\frac{61}{8}. \end{align*}

Thus

\begin{align*} \operatorname{Var}(X)=&\,\frac{61}{8}-\biggl(\frac{19}{8}\biggr)^2\\[4mm] =&\,\frac{488-361}{64}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{127}{64}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

第8次之前即前7次至少有一次4。用1减去前7次全部不是4的概率。

答题过程

展开

\begin{align*} \mathrm{P}(\text{first 4 before spin 8}) =&\,1-\biggl(\frac34\biggr)^7\\[4mm] =&\,0.866516\ldots\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.867}. \end{align*}

解法二

思路

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也可以按首次成功的次数分类，把第1至第7次首次出现4的概率相加。

答题过程

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Let $T$ be the spin on which the first 4 is obtained. Then

\begin{align*} \mathrm{P}(T<8)=&\,\sum_{k=1}^{7} \biggl(\frac34\biggr)^{k-1}\frac14\\[4mm] =&\,\frac14\frac{1-(3/4)^7}{1-3/4}\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.867}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

Red \ Blue	$0$	$1$	$2$	$3$
$1$	$1$	$0$	$2$	$3$
$2$	$2$	$2$	$0$	$3$
$3$	$3$	$3$	$3$	$0$
$4$	$4$	$4$	$4$	$4$

Red \ Blue	$0$	$1$	$2$	$3$
$1$	$1$	$0$	$2$	$3$
$2$	$2$	$2$	$0$	$3$
$3$	$3$	$3$	$3$	$0$
$4$	$4$	$4$	$4$	$4$

CIE 9709 2025 November Paper 53 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

Red \ Blue	$0$	$1$	$2$	$3$
$1$	$1$	$0$	$2$	$3$
$2$	$2$	$2$	$0$	$3$
$3$	$3$	$3$	$3$	$0$
$4$	$4$	$4$	$4$	$4$