题目

Problem

Kai has a spinner with four sides, labelled 1, 2, 3, 4. When the spinner is spun, the score is the number on the side on which the spinner lands. The random variable $X$ denotes this score. The probability distribution table for $X$ is given below.

$x$	1	2	3	4
$\mathrm{P}(X=x)$	$p$	0.4	$2p$	$p$

(a) Find the numerical value of $\operatorname{Var}(X)$ .

(4)

Kai spins his spinner 10 times.

(b) Find the probability that a score of 2 is obtained fewer than 8 times.

(3)

题目中文翻译

Kai 有一个四面陀螺，各面标有 1、2、3、4。转动陀螺时，其得分为停下时所落在的那一面上的数字。随机变量 $X$ 表示这个得分。 $X$ 的概率分布表如下。

$x$	1	2	3	4
$\mathrm{P}(X=x)$	$p$	0.4	$2p$	$p$

(a) 求 $\operatorname{Var}(X)$ 的数值。

(4)

Kai 将他的陀螺转动 10 次。

(b) 求得到 2 分的次数少于 8 的概率。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先由概率总和为1确定p，再求均值与二阶矩，最后计算方差。

答题过程

展开

The probabilities sum to 1, so

p+0.4+2p+p=1,\qquad p=0.15.

Hence

\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,1(0.15)+2(0.4)+3(0.3)+4(0.15)\\[4mm] =&\,2.45,\\[4mm] \mathrm{E}(X^2)=&\,1^2(0.15)+2^2(0.4)+3^2(0.3)+4^2(0.15)\\[4mm] =&\,6.85. \end{align*}

Therefore,

\operatorname{Var}(X)=6.85-(2.45)^2 =6.85-6.0025 =\boxed{0.8475}.

(b)

解法一

思路

展开

10次中出现2的次数服从成功概率0.4的二项分布。少于8次的补集为8、9、10次，只有三项。

答题过程

展开

Let $Y$ be the number of scores of 2 in the 10 spins. Then $Y\sim\mathrm{B}(10,0.4)$ .

\begin{align*} \mathrm{P}(Y<8)=&\,1-\mathrm{P}(Y\geq8)\\[4mm] =&\,1-\bigl[45(0.4)^8(0.6)^2\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+10(0.4)^9(0.6)+(0.4)^{10}\bigr]\\[4mm] =&\,0.9877054464\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.988}. \end{align*}

CIE 9709 2025 November Paper 55 Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程