过去，学生完成某项挑战的用时（以分钟为单位）的均值为 $25.5$，标准差为 $5.2$。现设计出一项新挑战，预计学生完成这项挑战的平均用时少于 $25.5$ 分钟。随机抽取 $40$ 名学生，测得他们完成新挑战的平均用时为 $23.7$ 分钟。

(a) 假设完成新挑战的用时的标准差为 $5.2$ 分钟，在 $1\%$ 的显著性水平下检验完成新挑战的总体平均用时是否少于 $25.5$ 分钟。

(b) 说明 (a) 的检验中是否可能犯了第一类错误，并给出理由。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

以新挑战总体平均时间作左尾检验，样本量40足够使用均值正态近似。

Let $\mu$ be the population mean time for the new challenge, in minutes.

Using the large-sample normal approximation with the assumed population standard deviation $5.2$,

The lower-tail 1% critical value is $-2.326$. Since $-2.18927\ldots>-2.326$, we do not reject $H_0$. There is insufficient evidence at the 1% significance level that the new population mean time is less than 25.5 minutes.

第一类错误须发生拒绝原假设，但(a)没有拒绝。

No. A Type I error means rejecting a true null hypothesis, but $H_0$ was not rejected in part (a).