Anita 从她所在学院随机抽取 $140$ 名学生进行调查，发现其中有 $49$ 人观看一档名为 Bunch 的电视节目。

(a) 计算 Anita 所在学院观看 Bunch 的学生所占比例 $p$ 的近似 $98\%$ 置信区间。

Carlos 说，(a) 中求得的置信区间太宽，因而没有用处。

(b) 不进行计算，简要说明 Carlos 如何利用 Anita 的调查结果求出 $p$ 的一个更窄的置信区间。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

样本比例为49/140等于0.35，用98%临界值及比例标准误建立区间。

The sample proportion is $\hat p=\frac{49}{140}=0.35$. With $z=\Phi^{-1}(0.99)=2.326348\ldots$, the approximate 98% confidence interval is

Thus the interval is

只能使用既有调查结果，不能改样本量；降低置信水平会降低临界值并缩短区间。

Carlos can use a lower confidence level, such as 95%, with the same survey results. This gives a smaller critical value and hence a narrower interval.