题目

Problem

The diagram shows the graph of the probability density function, $\mathrm{f}$ , of a random variable $X$ that takes values between $x=0$ and $x=3$ only. The graph is symmetrical about the line $x=1.5$ .

(a) It is given that $\mathrm{P}(X<0.6)=a$ and $\mathrm{P}(0.6<X<1.2)=b$ .

Find $\mathrm{P}(0.6<X<1.8)$ in terms of $a$ and $b$ .

(2)

(b) It is now given that the equation of the probability density function of $X$ is

\mathrm{f}(x)=\begin{cases} kx^2(3-x)^2 & 0\leq x\leq3,\\ 0 & \text{otherwise}, \end{cases}

where $k$ is a constant.

(i) Show that $k=\dfrac{10}{81}$ .

(3)

(ii) Find $\mathrm{Var}(X)$ .

(3)

题目中文翻译

图中给出了随机变量 $X$ 的概率密度函数 $\mathrm{f}$ 的图像。 $X$ 只在 $x=0$ 与 $x=3$ 之间取值。该图像关于直线 $x=1.5$ 对称。

(a) 已知 $\mathrm{P}(X<0.6)=a$ ，且 $\mathrm{P}(0.6<X<1.2)=b$ 。

用 $a$ 和 $b$ 表示 $\mathrm{P}(0.6<X<1.8)$ 。

(2)

(b) 现已知 $X$ 的概率密度函数为

\mathrm{f}(x)=\begin{cases} kx^2(3-x)^2 & 0\leq x\leq3,\\ 0 & \text{其他情况，} \end{cases}

其中 $k$ 为常数。

(i) 证明 $k=\dfrac{10}{81}$ 。

(3)

(ii) 求 $\mathrm{Var}(X)$ 。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

关于1.5对称，1.8右侧概率等于1.2左侧的a加b。目标区间取扣除两端概率的补集。

答题过程

展开

By symmetry about $x=1.5$ ,

\mathrm{P}(X>1.8)=\mathrm{P}(X<1.2)=a+b.

Therefore

\begin{align*} \mathrm{P}(0.6<X<1.8)=&\,1-a-(a+b)\\[4mm] =&\,\boxed{1-2a-b}. \end{align*}

(b)(i)

解法一

思路

展开

展开多项式密度并归一化，展示上下限代入。

答题过程

展开

Since the total probability is 1,

k\int_0^3x^2(3-x)^2\,\mathrm{d}x=1.

Thus

\begin{align*} k\bigg[3x^3-\frac32x^4+\frac{x^5}{5}\bigg]_0^3=&\,1,\\[4mm] k\bigg(81-\frac{243}{2}+\frac{243}{5}\bigg)=&\,1,\\[4mm] \frac{81}{10}k=&\,1. \end{align*}

Hence $\boxed{k=\frac{10}{81}}$ , as required.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

对称性给出均值1.5，积分二阶矩后减去均值平方。

答题过程

展开

By symmetry, $\mathrm{E}(X)=\frac32$ . Also,

\begin{align*} &\,\mathrm{E}(X^2)\\[4mm] =&\,\frac{10}{81}\int_0^3x^4(3-x)^2\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac{10}{81}\int_0^3(9x^4-6x^5+x^6)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac{10}{81}\bigg[\frac{9x^5}{5}-x^6+\frac{x^7}{7}\bigg]_0^3\\[4mm] =&\,\frac{10}{81}\bigg(\frac{2187}{5}-729+\frac{2187}{7}\bigg)\\[4mm] =&\,\frac{18}{7}. \end{align*}

Therefore

\mathrm{Var}(X)=\frac{18}{7}-\bigg(\frac32\bigg)^2 =\boxed{\frac9{28}}.

CIE 9709 2023 March Paper 62 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)(i)

解法一

思路

答题过程

(b)(ii)

解法一

思路

答题过程