去年，某校学生完成一次测试的平均用时为 $25$ 分钟。Akash 认为今年的学生平均用时少于 $25$ 分钟。为了检验这一看法，他从今年的学生中随机抽取一个大样本，并记录每名学生的用时。他对总体平均用时 $\mu$ 分钟在 $2.5\%$ 的显著性水平下进行检验。Akash 使用的原假设为 $\mathrm{H}_0\colon\mu=25$。

(a) 给出一个理由，说明为什么 Akash 应采用单尾检验。

Akash 求得检验统计量的值为 $z=-2.02$。

(b) 说明他应得出什么结论。

在另一次单尾假设检验中，求得的 $z$ 值为 $2.14$。

(c) 已知在 $\alpha\%$ 的显著性水平下，这个值会导致拒绝原假设。求 $\alpha$ 的所有可能取值所构成的集合。

另一所学校的学生去年完成一次测试的总体平均用时为 $m$ 分钟。Sorin 随机抽取 $100$ 名学生，进行单尾检验，以判断今年的总体平均用时是否小于 $m$。他假设用时的总体标准差为 $3.9$ 分钟。样本均值为 $24.8$ 分钟，这个结果在 $5\%$ 的显著性水平下恰好导致拒绝原假设。

(d) 求 $m$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

备择为平均时间减少，方向已经确定，故采用左尾单尾检验。

Akash is specifically testing for a decrease in the population mean time, so the alternative hypothesis is $\mu<25$ and a one-tailed test is appropriate.

将负2.02与2.5%左尾临界值负1.96比较，给出有证据支持时间减少的结论。

The lower-tail 2.5% critical value is $-1.96$. Since

Akash should reject $H_0$. There is sufficient evidence at the 2.5% significance level that this year’s population mean completion time is less than 25 minutes.

正的检验统计量对应右尾拒绝，先求上尾p值，再用显著性水平至少等于未舍入p值表达范围。

The upper-tail probability for $z=2.14$ is

For rejection, the significance level must be at least this tail probability:

Thus the lower boundary for $\alpha$ is $1.617738\ldots$, approximately $1.62$ to 3 significant figures.

刚好拒绝表示观测均值位于5%左尾临界边界，代入标准误3.9/10反求原假设均值m。

At the lower-tail 5% critical boundary,

Therefore

so $\boxed{m=25.4\text{ minutes}}$ (3 s.f.).