题目

Problem

The graph of the probability density function $\mathrm{f}$ of a random variable $X$ is symmetrical about the line $x=2$ . It is given that $\mathrm{P}(2<X<5)=\dfrac{117}{256}$ .

(a) Using only this information show that $\mathrm{P}(X>-1)=\dfrac{245}{256}$ .

(2)

It is now given that, for $x$ in a suitable domain,

$\mathrm{f}(x)=k(12+4x-x^2),\text{ where }k\text{ is a constant.}$

(b) Find the value of $k$ .

(3)

(c) A different random variable $X$ has probability density function $\mathrm{g}(x)=\dfrac29(2+x-x^2)$ . The domain of $X$ is all values of $x$ for which $\mathrm{g}(x)\geq 0$ .

Find $\mathrm{Var}(X)$ .

(5)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 的概率密度函数 $\mathrm{f}$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称。已知 $\mathrm{P}(2<X<5)=\dfrac{117}{256}$ 。

(a) 仅利用这些信息，证明 $\mathrm{P}(X>-1)=\dfrac{245}{256}$ 。

(2)

现已知，当 $x$ 在一个适当的定义域内时，

$\mathrm{f}(x)=k(12+4x-x^2),$

其中 $k$ 为常数。

(b) 求 $k$ 的值。

(3)

(c) 另一个随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $\mathrm{g}(x)=\dfrac29(2+x-x^2)$ 。 $X$ 的取值范围是使 $\mathrm{g}(x)\geq 0$ 的所有 $x$ 值。

求 $\mathrm{Var}(X)$ 。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

关于2对称，故2至5的概率等于负1至2的概率，且2右边总概率为一半。两部分相加即得结果。

答题过程

展开

By symmetry about $x=2$ ,

\mathrm{P}(-1<X<2)=\mathrm{P}(2<X<5)=\frac{117}{256},

and $\mathrm{P}(X>2)=\frac12$ . Therefore

\begin{align*} \mathrm{P}(X>-1)=&\,\frac{117}{256}+\frac12\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{245}{256}}, \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

展开

直接使用已知2至5的概率，积分密度求k，不需要预先推定整个定义域。

答题过程

展开

Using the given probability,

k\int_2^5(12+4x-x^2)\,\mathrm{d}x=\frac{117}{256}.

Hence

\begin{align*} k\bigg[12x+2x^2-\frac{x^3}{3}\bigg]_2^5 =&\,\frac{117}{256},\\[4mm] k\bigg(\frac{205}{3}-\frac{88}{3}\bigg) =&\,\frac{117}{256},\\[4mm] 39k=&\,\frac{117}{256}. \end{align*}

Thus $\boxed{k=\frac3{256}}$ .

(c)

解法一

思路

展开

先由密度非负求支持区间，利用抛物线对称得到均值，再积分求二阶矩，用方差等于二阶矩减均值平方。

答题过程

展开

Since

2+x-x^2=(x+1)(2-x)\geq0,

the support is $-1\leq x\leq2$ . The density is symmetric about $x=\frac12$ , so $\mathrm{E}(X)=\frac12$ .

Also,

\begin{align*} \mathrm{E}(X^2) =&\,\frac29\int_{-1}^2 x^2(2+x-x^2)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac29\bigg[\frac{2x^3}{3}+\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}\bigg]_{-1}^2\\[4mm] =&\,\frac29\bigg(\frac{44}{15}+\frac{13}{60}\bigg)\\[4mm] =&\,\frac7{10}. \end{align*}

Therefore

\mathrm{Var}(X)=\frac7{10}-\bigg(\frac12\bigg)^2 =\boxed{\frac9{20}}.

CIE 9709 2024 March Paper 62 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程