Litania 的成年女性身高（以厘米为单位）的均值为 $\mu$，标准差为 $\sigma$。已知 $2004$ 年 $\mu$ 和 $\sigma$ 的值分别为 $163.21$ 和 $6.95$。政府声称今年的 $\mu$ 值高于 $2004$ 年。为了检验这一说法，一名研究人员计划在 $1\%$ 的显著性水平下进行假设检验。他从今年 Litania 的成年女性中随机抽取 $300$ 人，记录她们的身高，并求出样本均值。

(a) 写出发生第一类错误的概率。

假定 $2004$ 年后 $\sigma$ 的值保持为 $6.95$。

(b) 已知今年的 $\mu$ 值实际为 $164.91$，求发生第二类错误的概率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

连续均值检验的第一类错误概率等于所设显著性水平。

先在原假设均值163.21下确定右尾拒绝边界，再在真实均值164.91下计算样本均值未超过边界的概率。

The hypotheses are

By the Central Limit Theorem, the sample mean is approximately normal, with standard error

Let $c$ be the critical sample mean. For an upper-tail 1% test,

We reject $H_0$ when $\overline H>c$. If the true mean is 164.91 cm, a Type II error occurs when $\overline H\leq c$, so