题目

Problem

The random variables $X$ and $Y$ have the independent distributions $\mathrm{N}(44,16)$ and $\mathrm{N}(30,9)$ respectively.

Find $\mathrm{P}(X-Y<15)$ .

(5)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，分别服从 $\mathrm{N}(44,16)$ 和 $\mathrm{N}(30,9)$ 分布。

求 $\mathrm{P}(X-Y<15)$ 。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

独立正态变量之差仍为正态分布。均值相减，方差相加，再标准化。

答题过程

展开

Since $X$ and $Y$ are independent,

\begin{align*} X-Y\sim&\,\mathrm{N}(44-30,16+9)\\[4mm] =&\,\mathrm{N}(14,25). \end{align*}

Hence

\begin{align*} \mathrm{P}(X-Y<15)=&\,\Phi\bigg(\frac{15-14}{\sqrt{25}}\bigg)\\[4mm] =&\,\Phi(0.2)\\[4mm] =&\,\boxed{0.579}\quad\text{(3 s.f.).} \end{align*}

CIE 9709 2025 March Paper 62 Q1

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