一名研究人员记录成年人填写一份问卷所用的时间，记为 $T$ 秒。

从今年填写了这份问卷的成年人中随机抽取 $60$ 人，结果汇总如下。

$n=60\qquad \sum t=3678\qquad \sum t^2=226\,313.36$

(a) 求 $\mathrm{E}(T)$ 的一个无偏估计值，并证明 $\mathrm{Var}(T)$ 的一个无偏估计值为 $14.44$。

过去的总体平均用时为 $62.4$ 秒。

(b) 在 $2\%$ 的显著性水平下，检验今年的总体平均用时是否少于 $62.4$ 秒。

(c) 说明解答 (b) 时是否有必要使用中心极限定理，并给出理由。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用样本均值估计总体均值；无偏方差须以样本量减一为分母。

An unbiased estimate of $\mathrm{E}(T)$ is

An unbiased estimate of $\mathrm{Var}(T)$ is

建立总体均值的左尾检验，用样本无偏方差估计标准误，与2%临界值比较并结合情境下结论。

Let $\mu$ be the population mean completion time this year, in seconds.

Using the large-sample normal approximation, the test statistic is

The lower-tail 2% critical value is $-2.054$. Since

we reject $H_0$. There is sufficient evidence at the 2% significance level that the population mean completion time has decreased.

总体分布并未说明为正态，因此样本均值的近似正态性需要中心极限定理。

Yes. The population distribution of completion times is unknown, so the Central Limit Theorem is needed to approximate the distribution of the sample mean by a normal distribution.