题目

Problem

The random variable $X$ has the distribution $\mathrm{Po}(1.5)$ .

(a) Find $\mathrm{P}(X\geq 3)$ .

(2)

(b) Find the probability that the sum of three independent values of $X$ is between $3$ and $5$ inclusive.

(3)

(c) The sum of a large number, $n$ , of values of $X$ is denoted by $T$ . Using a suitable approximation, it was found that $\mathrm{P}(T>330)=0.0391$ , correct to $3$ significant figures.

Find the value of $n$ .

(5)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 服从 $\mathrm{Po}(1.5)$ 分布。

(a) 求 $\mathrm{P}(X\geq 3)$ 。

(2)

(b) 求 $X$ 的三个独立取值之和介于 $3$ 与 $5$ 之间（含端点）的概率。

(3)

(c) 设 $T$ 为 $X$ 的 $n$ 个取值之和，其中 $n$ 很大。用适当的近似求得 $\mathrm{P}(T>330)=0.0391$ ，精确到 $3$ 位有效数字。

求 $n$ 的值。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

至少3次的补集为0、1、2次，利用泊松概率求和。

答题过程

展开

\begin{align*} \mathrm{P}(X\geq3)=&\,1-\mathrm{P}(X\leq2)\\[4mm] =&\,1-e^{-1.5}\bigg(1+1.5+\frac{1.5^2}{2!}\bigg)\\[4mm] =&\,0.191153\ldots\\[4mm] =&\,\boxed{0.191}\quad\text{(3 s.f.).} \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

独立泊松变量之和仍为泊松分布，参数相加，直接累加3至5次的概率。

答题过程

展开

Let $S=X_1+X_2+X_3$ , where the three values are independent. Then

S\sim\mathrm{Po}(3\times1.5)=\mathrm{Po}(4.5).

Thus

\begin{align*} &\,\mathrm{P}(3\leq S\leq5)\\[4mm] =&\,e^{-4.5}\bigg(\frac{4.5^3}{3!}+\frac{4.5^4}{4!}\bigg)\\[4mm] &\,+e^{-4.5}\frac{4.5^5}{5!}\\[4mm] =&\,0.529352\ldots\\[4mm] =&\,\boxed{0.529}\quad\text{(3 s.f.).} \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

总和的均值与方差均为1.5n。连续性修正后，将尾概率转成正态分位数，再令根号下的均值为新变量求解。

答题过程

展开

Using the normal approximation,

T\approx\mathrm{N}(1.5n,1.5n).

Since $T>330$ means $T\geq331$ , the continuity-corrected boundary is $330.5$ . Therefore

\begin{align*} \frac{330.5-1.5n}{\sqrt{1.5n}}=&\,\Phi^{-1}(1-0.0391)\\[4mm] =&\,1.76123\ldots. \end{align*}

Put $u=\sqrt{1.5n}>0$ . Then

u^2+1.76123\ldots u-330.5=0.

Taking the positive root,

u=\frac{-1.76123\ldots+\sqrt{(1.76123\ldots)^2+4(330.5)}}{2}.

Then

\begin{align*} n=&\,\frac{u^2}{1.5}\\[4mm] =&\,199.9966\ldots. \end{align*}

As $n$ is an integer, $\boxed{n=200}$ .

Checking with this value,

\begin{align*} &\,1-\Phi\bigg(\frac{330.5-300}{\sqrt{300}}\bigg)\\[4mm] =&\,0.0391261\ldots\\[4mm] \approx&\,0.0391\quad\text{(3 s.f.),} \end{align*}

as required.

CIE 9709 2025 March Paper 62 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程