题目

Problem

(a)

The diagram shows the graph of the probability density function, $\mathrm{f}$ , of a random variable $X$ . The graph is a straight line from $(0,a)$ to $(2,b)$ , where $a$ and $b$ are positive constants. Elsewhere, $\mathrm{f}(x)=0$ .

(i) Show that $b=1-a$ .

(2)

(ii) Given that $\mathrm{E}(X)=1.2$ , find the value of $a$ .

(5)

(b) A random variable $T$ has probability density function given by

\mathrm{g}(t)=\begin{cases} \frac12\cos t & -\frac12\pi\leq t\leq \frac12\pi,\\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}

Find the value of $c$ such that $\mathrm{P}(-c<t<c)=\frac12$ .

(4)

题目中文翻译

(a) 图中给出了随机变量 $X$ 的概率密度函数 $\mathrm{f}$ 的图像。该图像是从 $(0,a)$ 到 $(2,b)$ 的直线段，其中 $a$ 和 $b$ 为正常数。在其余各处， $\mathrm{f}(x)=0$ 。

(i) 证明 $b=1-a$ 。

(2)

(ii) 已知 $\mathrm{E}(X)=1.2$ ，求 $a$ 的值。

(5)

(b) 随机变量 $T$ 的概率密度函数为

\mathrm{g}(t)=\begin{cases} \frac12\cos t & -\frac12\pi\leq t\leq \frac12\pi,\\ 0 & \text{其他情况。} \end{cases}

求 $c$ 的值，使 $\mathrm{P}(-c<t<c)=\frac12$ 。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

密度图下梯形面积等于1，直接建立a与b的关系。

答题过程

展开

The total area under the density curve is 1, so

\frac{a+b}{2}\times2=1.

Thus $a+b=1$ , giving $\boxed{b=1-a}$ .

(a)(ii)

解法一

思路

展开

先写出直线密度函数，再对x乘密度积分求均值，代入已知均值求a。

答题过程

展开

For $0\leq x\leq2$ , the density is

\begin{align*} f(x)=&\,a+\frac{b-a}{2}x\\[4mm] =&\,a+\frac{1-2a}{2}x. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,\int_0^2 x\bigg(a+\frac{1-2a}{2}x\bigg)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\bigg[\frac{ax^2}{2}+\frac{(1-2a)x^3}{6}\bigg]_0^2\\[4mm] =&\,2a+\frac{4}{3}(1-2a)\\[4mm] =&\,\frac{4-2a}{3}. \end{align*}

Since $\mathrm{E}(X)=1.2$ ,

\frac{4-2a}{3}=1.2 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{a=0.2}.

(b)

解法一

思路

展开

将中心区间概率写成密度积分。由区间须包含一半概率，c在0至π/2之间，故只取该范围的解。

答题过程

展开

For the required probability, $0<c<\frac{\pi}{2}$ . Hence

\begin{align*} \mathrm{P}(-c<T<c)=&\,\frac12\int_{-c}^c\cos t\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\frac12[\sin t]_{-c}^c\\[4mm] =&\,\sin c. \end{align*}

Thus $\sin c=\frac12$ . In the required range,

\boxed{c=\frac{\pi}{6}}.

CIE 9709 2025 March Paper 62 Q4

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程