一家商店销售两种手机。两种手机的平均销售速率恒定，一种每周售出 $3.2$ 部，另一种每周售出 $2.9$ 部。可以假设各次销售随机发生且彼此独立。

(a) 随机选取一周。

(i) 求该商店共售出 $5$ 部手机的概率。

(ii) 求该商店恰好售出 $5$ 部同一种手机，且另一种一部也未售出的概率。

(b) (i) 用一个合适的近似分布，求该商店在随机选取的 $6$ 周内共售出超过 $30$ 部手机的概率。

(ii) 说明选用该近似分布的理由。

两种电脑的每周销量 $X$ 和 $Y$ 分别服从分布 $X\sim\mathrm{Po}(\lambda)$ 和 $Y\sim\mathrm{Po}(\mu)$。

(c) 已知 $\mathrm{P}(X=0)=2\mathrm{P}(Y=1)$，用 $\mu$ 表示 $\lambda$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

独立 Poisson 变量的总数仍是 Poisson，参数为两种手机的平均销量之和。

Let the weekly sales of the two types be $U\sim\mathrm{Po}(3.2)$ and $V\sim\mathrm{Po}(2.9)$, independently. Then

Thus

只可能是第一种卖五部、第二种零部，或相反。两种互斥情形相加，各情形内用独立性相乘。

Let $E$ be the event that five phones of one type and none of the other are sold. The two mutually exclusive cases are $(U,V)=(5,0)$ and $(0,5)$. Therefore

六周合计的参数乘以六；多于三十部对应至少三十一部，连续性修正边界为 $30.5$。

Let $N$ be the total sales over the six weeks. Then $N\sim\mathrm{Po}(6(6.1))=\mathrm{Po}(36.6)$. Use the approximation $Y\sim\mathrm N(36.6,36.6)$.

With a continuity correction,

理由应给出本题具体的 Poisson 参数，而不只是泛泛说“平均数大”。

The normal approximation is appropriate because the Poisson mean is $\boxed{36.6>15}$.

先把两个 Poisson 单点概率代入给定关系，再取自然对数并把 $\lambda$ 单独留下。

The given equation is

It implies $\mu>0$, since the left-hand side is positive. Taking natural logarithms,