题目

Problem

The widths, $X\,\mathrm{cm}$ , of the stones found on a certain beach are modelled by the probability density function given by

f(x)= \begin{cases} k(ax-x^2) & 0<x<a,\\ 0 & \text{otherwise}, \end{cases}

where $k$ and $a$ are constants.

(a) Show that $k=\frac{6}{a^3}$ .

(3)

(b) Without calculation, give an expression for $\mathrm{E}(X)$ in terms of $a$ .

(1)

(c) (i) Find $\mathrm{P}(X<\frac14 a)$ , showing that this probability is independent of $a$ .

(3)

(ii) Use your answer to 6(c)(i) to find $\mathrm{P}(\frac14 a<X<\frac34 a)$ .

(2)

题目中文翻译

某海滩上石块的宽度为 $X\,\mathrm{cm}$ ，用下列概率密度函数建模。

f(x)= \begin{cases} k(ax-x^2) & 0<x<a,\\ 0 & \text{其他情况}, \end{cases}

其中 $k$ 和 $a$ 是常数。

(a) 证明 $k=\frac{6}{a^3}$ 。

(3)

(b) 不进行计算，用 $a$ 表示 $\mathrm{E}(X)$ 。

(1)

(c) (i) 求 $\mathrm{P}(X<\frac14 a)$ ，并证明此概率与 $a$ 无关。

(3)

(ii) 用你对 6(c)(i) 的答案求 $\mathrm{P}(\frac14 a<X<\frac34 a)$ 。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

由密度总积分等于一推出归一化常数，完整代入上下限，不把目标值直接代回验证。

答题过程

展开

A valid density has $a>0$ and total probability $1$ . Thus

\begin{align*} k\int_0^a(ax-x^2)\,\mathrm{d}x=&\,1,\\[4mm] k\bigg[\frac{ax^2}{2}-\frac{x^3}{3}\bigg]_0^a=&\,1,\\[4mm] k\bigg(\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}\bigg)=&\,1,\\[4mm] \frac{ka^3}{6}=&\,1. \end{align*}

Therefore $\boxed{k=\frac6{a^3}}$ .

(b)

解法一

思路

展开

密度关于区间中点对称，直接写出期望，符合“不计算”的要求。

答题过程

展开

The density is symmetric about $x=a/2$ , so, without calculation,

\boxed{\mathrm E(X)=\frac a2}.

(c)(i)

解法一

思路

展开

代入(a)的常数并对指定的左侧四分之一区间积分。所有 $a^3$ 消去后，结果自然与 $a$ 无关。

答题过程

展开

Using part (a),

\begin{align*} \mathrm P\bigg(X<\frac a4\bigg) =&\,\frac6{a^3}\int_0^{a/4}(ax-x^2)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac6{a^3}\bigg[\frac{ax^2}{2}-\frac{x^3}{3}\bigg]_0^{a/4}\\[4mm] =&\,\frac6{a^3}\bigg(\frac{a^3}{32}-\frac{a^3}{192}\bigg)\\[4mm] =&\,6\bigg(\frac1{32}-\frac1{192}\bigg)=\boxed{\frac5{32}}. \end{align*}

The final value contains no $a$ , so the probability is independent of $a$ .

(c)(ii)

解法一

思路

展开

必须承接上一问：利用对称性，两端各占 $5/32$ ，中央概率用一减去两端。

答题过程

展开

By symmetry about $x=a/2$ ,

\begin{align*} \mathrm P\bigg(X>\frac{3a}{4}\bigg)=&\,\mathrm P\bigg(X<\frac a4\bigg)\\[4mm] =&\,\frac5{32}. \end{align*}

Using part (c)(i),

\begin{align*} \mathrm P\bigg(\frac a4<X<\frac{3a}{4}\bigg) =&\,1-2\bigg(\frac5{32}\bigg)\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{11}{16}}. \end{align*}

CIE 9709 2026 March Paper 62 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)(i)

解法一

思路

答题过程

(c)(ii)

解法一

思路

答题过程