相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从 $\mathrm{Po}(2)$ 和 $\mathrm{B}\left(20,\dfrac14\right)$ 分布。

(a) 求 $X-3Y$ 的均值和标准差。

(b) 求 $\mathrm{P}(Y=15X)$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先求泊松与二项变量的均值方差。线性组合的均值带符号，独立方差按系数平方相加。

For $X\sim\mathrm{Po}(2)$,

For $Y\sim\mathrm{B}(20,\frac14)$,

Hence

By independence,

so its standard deviation is $\boxed{\frac{\sqrt{143}}2=5.98}$ (3 s.f.).

二项变量Y只能取0至20，因此Y等于15X只可能是X0且Y0，或X1且Y15。用独立性分别求联合概率后相加。

Since $0\leq Y\leq20$, the only possible pairs $(X,Y)$ satisfying $Y=15X$ are $(0,0)$ and $(1,15)$. By independence,