题目

Problem

A random variable $X$ has probability density function $\mathrm{f}$ . The graph of $\mathrm{f}(x)$ is a straight line segment parallel to the $x$ -axis from $x=0$ to $x=a$ , where $a$ is a positive constant.

(a) State, in terms of $a$ , the median of $X$ .

(1)

(b) Find $\mathrm{P}\left(X>\dfrac34a\right)$ .

(1)

(c) Show that $\mathrm{Var}(X)=\dfrac1{12}a^2$ .

(5)

(d) Given that $\mathrm{P}(X<b)=p$ , where $0<b<\dfrac12a$ , find $\mathrm{P}\left(\dfrac13b<X<a-\dfrac13b\right)$ in terms of $p$ .

(2)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $\mathrm{f}$ 。 $\mathrm{f}(x)$ 的图像是从 $x=0$ 到 $x=a$ 的一段与 $x$ 轴平行的直线段，其中 $a$ 为正常数。

(a) 用 $a$ 表示 $X$ 的中位数。

(1)

(b) 求 $\mathrm{P}\left(X>\dfrac34a\right)$ 。

(1)

(c) 证明 $\mathrm{Var}(X)=\dfrac1{12}a^2$ 。

(5)

(d) 已知 $\mathrm{P}(X<b)=p$ ，其中 $0<b<\dfrac12a$ ，用 $p$ 表示 $\mathrm{P}\left(\dfrac13b<X<a-\dfrac13b\right)$ 。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

水平密度在0至a上均匀分布，中位数在区间中点。

答题过程

展开

Since the distribution is uniform on $[0,a]$ , its median is $\boxed{\frac a2}$ .

(b)

解法一

思路

展开

均匀密度中概率等于区间长度占总长度的比例。

答题过程

展开

\mathrm{P}\bigg(X>\frac34a\bigg) =\frac{a-3a/4}{a} =\boxed{\frac14}.

(c)

解法一

思路

展开

先由归一化得密度1/a，再积分求均值和二阶矩，代入方差公式。

答题过程

展开

The total area is 1, so the constant density is $f(x)=\frac1a$ for $0\leq x\leq a$ . Thus

\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,\frac1a\int_0^a x\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac1a\bigg[\frac{x^2}{2}\bigg]_0^a=\frac a2, \end{align*}

and

\begin{align*} \mathrm{E}(X^2)=&\,\frac1a\int_0^a x^2\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac1a\bigg[\frac{x^3}{3}\bigg]_0^a=\frac{a^2}{3}. \end{align*}

Therefore

\mathrm{Var}(X)=\frac{a^2}{3}-\bigg(\frac a2\bigg)^2 =\boxed{\frac{a^2}{12}},

as required.

(d)

解法一

思路

展开

由均匀性p等于b/a。去掉左右各长b/3的尾部，剩余概率为1减2p/3。

答题过程

展开

Since the density is constant,

p=\mathrm{P}(X<b)=\frac ba.

Therefore

\begin{align*} &\,\mathrm{P}\bigg(\frac b3<X<a-\frac b3\bigg)\\[4mm] =&\,\frac{a-2b/3}{a}=\boxed{1-\frac{2p}{3}}. \end{align*}

CIE 9709 2022 June Paper 61 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程