过去，Jenny 晨跑的平均用时为 $28.2$ 分钟。她做了一些额外训练，想检验自己的平均用时是否缩短。训练后，Jenny 随机抽取 $40$ 次晨跑。她决定，如果样本平均用时少于 $27$ 分钟，就认为训练有效。可以假设训练后 Jenny 的晨跑用时的标准差为 $4.0$ 分钟。

(a) 写出适合 Jenny 的检验的原假设和备择假设。

(b) 求 Jenny 犯第一类错误的概率。

(c) Jenny 测得样本平均用时为 $27.2$ 分钟。

简要说明她可能犯第一类错误、第二类错误，还是两类错误都有可能。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

以训练后的总体平均跑步时间为参数，备择为减少。

Let $\mu$ be Jenny’s population mean morning-run time after training, in minutes.

第一类错误是在原假设正确时样本均值小于指定拒绝边界27。利用样本量40的正态近似计算。

Under $H_0$, the Central Limit Theorem gives

A Type I error occurs when $\overline X<27$ despite $H_0$ being true. Hence

27.2没有落入小于27的拒绝域，故没有拒绝原假设。第一类错误不可能，若真实均数已减少则可能发生第二类错误。

Since $27.2>27$, $H_0$ is not rejected. A Type I error is therefore impossible. A Type II error is possible if Jenny’s true population mean time has decreased but the test has failed to detect it.