已知 $A$ 型电池的平均寿命为 $150$ 小时。需要检验新型电池，即 $B$ 型电池的平均寿命是否比 $A$ 型电池的短。

(a) 给出一个理由，说明为什么进行这项检验时使用样本，而非整个总体。

随机抽取 $120$ 节 $B$ 型电池进行测试，得到平均寿命为 $147$ 小时，总体方差的一个无偏估计值为 $225\,\text{小时}^2$。

(b) 在 $2\%$ 的显著性水平下检验 $B$ 型电池的平均寿命是否比 $A$ 型电池的短。

(c) 计算 $B$ 型电池总体平均寿命的一个 $94\%$ 置信区间。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

寿命测试会耗尽电池，测试全部总体会把所有电池用完。

Testing a battery’s lifetime uses it up, so testing the whole population would leave all the batteries unusable.

以B型总体平均寿命作左尾检验，使用无偏方差225和样本量120的标准误。

Let $\mu_B$ be the population mean life of type $B$ batteries, in hours.

Using the large-sample normal approximation,

The lower-tail 2% critical value is $-2.054$. Since $-2.19089\ldots<-2.054$, we reject $H_0$.

There is sufficient evidence at the 2% significance level that type $B$ batteries have a shorter population mean life than type $A$ batteries.

94%区间两端各3%，使用累计概率0.97的正态临界值。

With $z=\Phi^{-1}(0.97)=1.880794\ldots$, the 94% confidence interval is

Thus the interval is