从变量 $X$ 中随机抽取 $5$ 个取值作为样本，结果如下。

$2\qquad3\qquad3\qquad5\qquad a$

(a) 求这些值的均值关于 $a$ 的表达式。

已知用这些值求得的 $X$ 的总体方差的一个无偏估计值为 $4$，并且 $a$ 为正数。

(b) 列出并化简关于 $a$ 的一个二次方程，并由此求 $a$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

五个数总和为13加a，除以5。

总平方和为47加a平方，代入无偏方差4，化简并用a为正筛根。

Using the unbiased variance,

Multiplying by 20 and expanding gives

Thus the required quadratic equation is

Factorising,

The roots are $a=-\frac12$ and $a=7$. Since $a>0$, $\boxed{a=7}$.