题目

Problem

The random variables $X$ and $W$ have probability density functions $\mathrm{f}$ and $\mathrm{g}$ defined as follows:

\mathrm{f}(x)=\begin{cases} p(a^2-x^2) & 0\leq x\leq a,\\ 0 & \text{otherwise}, \end{cases}

\mathrm{g}(w)=\begin{cases} q(a^2-w^2) & -a\leq w\leq a,\\ 0 & \text{otherwise}, \end{cases}

where $a$ , $p$ and $q$ are constants.

(a)

(i) Write down the value of $\mathrm{P}(X\geq0)$ .

(1)

(ii) Write down the value of $\mathrm{P}(W\geq0)$ .

(1)

(iii) Write down an expression for $q$ in terms of $p$ only.

(1)

(b) Given that $\mathrm{E}(X)=3$ , find the value of $a$ .

(6)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 和 $W$ 的概率密度函数 $\mathrm{f}$ 和 $\mathrm{g}$ 分别定义如下。

\mathrm{f}(x)=\begin{cases} p(a^2-x^2) & 0\leq x\leq a,\\ 0 & \text{其他情况，} \end{cases}

\mathrm{g}(w)=\begin{cases} q(a^2-w^2) & -a\leq w\leq a,\\ 0 & \text{其他情况，} \end{cases}

其中 $a$ 、 $p$ 和 $q$ 为常数。

(a)

(i) 写出 $\mathrm{P}(X\geq0)$ 的值。

(1)

(ii) 写出 $\mathrm{P}(W\geq0)$ 的值。

(1)

(iii) 写出仅含 $p$ 的 $q$ 的表达式。

(1)

(b) 已知 $\mathrm{E}(X)=3$ ，求 $a$ 的值。

(6)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

X只取非负值，因此概率为1。

答题过程

展开

\boxed{\mathrm{P}(X\geq0)=1}.

(a)(ii)

解法一

思路

展开

W的密度关于0对称，非负侧包含一半概率。

答题过程

展开

By symmetry,

\boxed{\mathrm{P}(W\geq0)=\frac12}.

(a)(iii)

解法一

思路

展开

两个密度在正半边形状相同，而g还覆盖对称负半边，因此系数减半。

答题过程

展开

The integral of $g$ over $[-a,a]$ is twice its integral over $[0,a]$ . Comparing normalisations with $f$ gives

\boxed{q=\frac p2}.

(b)

解法一

思路

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先将f归一化求p，再计算期望积分，把期望3代入并解a。

答题过程

展开

Normalisation of $f$ gives

\begin{align*} p\int_0^a(a^2-x^2)\,\mathrm{d}x=&\,1,\\[4mm] p\bigg[a^2x-\frac{x^3}{3}\bigg]_0^a=&\,1,\\[4mm] \frac23pa^3=&\,1. \end{align*}

Hence $p=\frac{3}{2a^3}$ . Also,

\begin{align*} \mathrm{E}(X) =&\,p\int_0^a x(a^2-x^2)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,p\bigg[\frac{a^2x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\bigg]_0^a\\[4mm] =&\,\frac{pa^4}{4}\\[4mm] =&\,\frac{3a}{8}. \end{align*}

Since $\mathrm{E}(X)=3$ , $\frac{3a}{8}=3$ , so $\boxed{a=8}$ .

CIE 9709 2022 June Paper 63 Q7

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

(a)(iii)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程