(a) 随机变量 $W$ 服从泊松分布。

写出 $\mathrm{E}(W)$ 与 $\mathrm{Var}(W)$ 的关系。

(b) 随机变量 $X$ 服从 $\mathrm{B}(n,p)$ 分布。Jyothi 想用泊松分布来近似 $X$ 的分布。

利用 $\mathrm{E}(X)$ 和 $\mathrm{Var}(X)$ 的公式，解释为什么 $p$ 必须接近 $0$，这种近似才合理。

(c) 已知 $Y$ 服从 $\mathrm{B}(20\,000,0.000\,07)$ 分布，用泊松分布估算 $\mathrm{P}(Y>2)$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

泊松分布的均值与方差相等。

二项均值为np、方差为np乘1减p。要接近均值等于方差的泊松分布，需要1减p接近1。

For $X\sim\mathrm{B}(n,p)$,

A Poisson distribution has equal mean and variance. Thus we need $np(1-p)\approx np$, requiring $1-p\approx1$, so $p$ must be close to 0.

近似泊松参数为20000乘0.00007等于1.4，超过2取不超过2的补集。

Using $Y\approx\mathrm{Po}(20000(0.00007))=\mathrm{Po}(1.4)$,