(a) 图中给出了随机变量 $X$ 的概率密度函数 $\mathrm{f}$ 的图像。$X$ 只在 $0$ 到 $4$ 之间取值。在这两个值之间，图像为直线段。

(i) 证明当 $0\leq x\leq4$ 时，$\mathrm{f}(x)=kx$，并求常数 $k$。

(ii) 由此或用其他方法求 $\mathrm{E}(X)$。

(b) 图中给出了随机变量 $W$ 的概率密度函数 $\mathrm{g}$ 的图像。$W$ 只在 $0$ 到 $a$ 之间取值，其中 $a>0$。在这两个值之间，图像为直线段。

已知 $W$ 的中位数为 $1$，求 $a$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

直线经过原点，故密度为kx。用总面积或积分等于1求出k。

The straight line passes through the origin, so $f(x)=kx$ for $0\leq x\leq4$. Since the total probability is 1,

Thus

The density formula applies for $0\leq x\leq4$.

对x乘上一问密度积分求期望。

中位数右侧的小三角形面积是总三角形的一半。相似三角形的面积比是对应边长比的平方，直接消去高度。

Since the median is 1, $a>1$ and $\mathrm{P}(W>1)=\frac12$.

The triangle under the graph from $w=1$ to $w=a$ is similar to the whole triangle, with corresponding base-length ratio $\frac{a-1}{a}$. Therefore

Both lengths are positive, so

Solving for $a$,

先以三角形总面积求纵截距，再写出直线密度，令从0至1的积分为一半。解二次方程后用a大于1筛根。

Let the vertical intercept be $h$. Normalisation gives

Thus the straight-line density is

This formula applies for $0\leq w\leq a$. Since the median is 1,

Hence

giving $a=2\pm\sqrt2$. The median must lie inside the support, so $a>1$ and $2-\sqrt2$ is invalid. Therefore $\boxed{a=2+\sqrt2}$.