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CIE 9709 2023 June Paper 63 Q1

A Level / CIE / S2

CIE 9709 2023 June Paper 63 Paper · Question 1

题目

Problem

A random variable XX has probability density function f\mathrm{f}, where

f(x)={32(1−x2)0≤x≤1,0otherwise.\mathrm{f}(x)=\begin{cases} \dfrac32(1-x^2) & 0\leq x\leq1,\\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}

Find E(X)\mathrm{E}(X).

(3)
题目中文翻译

随机变量 XX 的概率密度函数 f\mathrm{f} 为

f(x)={32(1−x2)0≤x≤1,0其他情况。\mathrm{f}(x)=\begin{cases} \dfrac32(1-x^2) & 0\leq x\leq1,\\ 0 & \text{其他情况。} \end{cases}

求 E(X)\mathrm{E}(X)。

(3)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

将x乘密度并在0至1积分。

答题过程

展开 E(X)= 32∫01x(1−x2) dx= 32[x22−x44]01= 32(12−14)= 38.\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,\frac32\int_0^1x(1-x^2)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac32\bigg[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\bigg]_0^1\\[4mm] =&\,\frac32\bigg(\frac12-\frac14\bigg)\\[4mm] =&\,\boxed{\frac38}. \end{align*}