题目

Problem

A bus station has exactly four entrances. In the morning the numbers of passengers arriving at these entrances during a $10$ -second period have the independent distributions $\mathrm{Po}(0.4)$ , $\mathrm{Po}(0.1)$ , $\mathrm{Po}(0.2)$ and $\mathrm{Po}(0.5)$ .

Find the probability that the total number of passengers arriving at the four entrances to the bus station during a randomly chosen $1$ -minute period in the morning is more than $3$ .

(3)

题目中文翻译

某公交车站恰有四个入口。上午，在一段 $10$ 秒的时间内，到达这四个入口的乘客人数相互独立，分别服从 $\mathrm{Po}(0.4)$ 、 $\mathrm{Po}(0.1)$ 、 $\mathrm{Po}(0.2)$ 和 $\mathrm{Po}(0.5)$ 分布。

在上午随机选取一段 $1$ 分钟的时间，求到达车站四个入口的乘客总人数超过 $3$ 人的概率。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

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四个入口的独立泊松参数相加，再把10秒参数乘6换算为1分钟，最后取不超过3人的补集。

答题过程

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Let $N$ be the total number arriving in one minute. By independence and scaling the time period,

N\sim\mathrm{Po}\bigl(6(0.4+0.1+0.2+0.5)\bigr)=\mathrm{Po}(7.2).

Therefore

\begin{align*} \mathrm{P}(N>3)=&\,1-e^{-7.2}(1+7.2)\\[4mm] &\,-e^{-7.2}\bigg(\frac{7.2^2}{2!}+\frac{7.2^3}{3!}\bigg)\\[4mm] =&\,0.928083\ldots\\[4mm] =&\,\boxed{0.928}\quad\text{(3 s.f.).} \end{align*}

CIE 9709 2024 June Paper 61 Q1

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