图中给出了随机变量 $X$ 的概率密度函数 $\mathrm{f}$ 的图像。该图像是一段完全位于第一象限的四分之一圆弧，圆心为 $(0,0)$，半径为 $a$，其中 $a$ 为正常数。在其余各处，$\mathrm{f}(x)=0$。

(a) 证明 $a=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}$。

(b) 证明 $\mathrm{f}(x)=\sqrt{\dfrac{4}{\pi}-x^2}$。

(c) 证明 $\mathrm{E}(X)=\dfrac{8}{3\sqrt{\pi^3}}$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

密度图下总面积为1，直接用四分之一圆的面积求正半径。

The total area under the density curve is 1, so

Since $a>0$, $\boxed{a=\frac2{\sqrt\pi}}$, as required.

圆的方程为x平方加y平方等于半径平方；图形在第一象限，只取y的正平方根。

On the quarter circle,

so $y^2=\frac4\pi-x^2$. Since the graph is in the first quadrant,

This holds for $0\leq x\leq2/\sqrt\pi$. Elsewhere $f(x)=0$.

用期望积分，识别根号内函数的导数与外面的x成比例，直接反向链式法则积分。

as required.