题目

Problem

A random variable $X$ has the distribution $\mathrm{N}(10,12)$ . Two independent values of $X$ , denoted by $X_1$ and $X_2$ , are chosen at random.

(a) Write down the value of $\mathrm{P}(X_1>X_2)$ .

(1)

(b) Find $\mathrm{P}(X_1>2X_2-3)$ .

(5)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 服从 $\mathrm{N}(10,12)$ 分布。从 $X$ 中独立地随机选取两个值，分别记为 $X_1$ 和 $X_2$ 。

(a) 写出 $\mathrm{P}(X_1>X_2)$ 的值。

(1)

(b) 求 $\mathrm{P}(X_1>2X_2-3)$ 。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

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两个独立同分布连续变量，任一个较大的概率由对称性均为一半。

答题过程

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By symmetry, since the variables are identically distributed and continuous,

\boxed{\mathrm{P}(X_1>X_2)=\frac12}.

(b)

解法一

思路

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把不等式移为X1减2X2加3大于0，计算这个正态变量的均值与方差后标准化。

答题过程

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Let $D=X_1-2X_2+3$ . By independence,

\begin{align*} D\sim&\,\mathrm{N}\bigl(10-2(10)+3,\ 12+2^2(12)\bigr)\\[4mm] =&\,\mathrm{N}(-7,60). \end{align*}

Therefore

\begin{align*} &\,\mathrm{P}(X_1>2X_2-3)\\[4mm] =&\,\mathrm{P}(D>0)\\[4mm] =&\,1-\Phi\bigg(\frac7{\sqrt{60}}\bigg)\\[4mm] =&\,0.183078\ldots\\[4mm] =&\,\boxed{0.183}\quad\text{(3 s.f.).} \end{align*}

CIE 9709 2024 June Paper 62 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程