某台机器灌装的盒装谷物的平均质量为 $510$ 克。对这台机器作了调整，一名检查员想检验由这台机器灌装的盒装谷物的平均质量是否下降。

调整之后，他随机抽取 $120$ 盒谷物，测得这些盒装谷物的平均质量为 $508$ 克。

假设质量的标准差为 $10$ 克。

(a) 在 $2.5\%$ 的显著性水平下检验这台机器灌装的盒装谷物的平均质量是否下降。

后来，检查员采用相同的假设，另随机抽取 $120$ 盒谷物，在 $2.5\%$ 的显著性水平下进行一次类似的检验。

(b) 已知现在的平均质量实际为 $506$ 克，求发生第二类错误的概率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

总体标准差已知，使用大样本均值的左尾正态检验，2.5%临界值为负1.96。

Let $\mu$ be the population mean mass after the adjustment, in grams.

By the Central Limit Theorem, the sample mean is approximately normal. The test statistic is

Since $-2.19089\ldots<-1.96$, the lower-tail 2.5% critical value, we reject $H_0$.

There is sufficient evidence at the 2.5% significance level that the population mean mass has decreased.

先在原假设下找样本均值的拒绝边界。真实均值为506时，第二类错误为样本均值不低于这一边界。

Let $c$ be the critical sample mean. Under $H_0$,

so

We reject $H_0$ for $\overline X<c$. When the true mean is 506 g,

Thus