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CIE 9709 2024 June Paper 63 Q5

A Level / CIE / S2

CIE 9709 2024 June Paper 63 Paper · Question 5

题目

Problem

A random variable XX has probability density function f\mathrm{f} given by

f(x)={ax−x30≤x≤2,0otherwise,\mathrm{f}(x)=\begin{cases} ax-x^3 & 0\leq x\leq\sqrt{2},\\ 0 & \text{otherwise}, \end{cases}

where aa is a constant.

(a) Show that a=2a=2.

(3)

(b) Find the median of XX.

(4)

(c) Find the exact value of E(X)\mathrm{E}(X).

(3)
题目中文翻译

随机变量 XX 的概率密度函数 f\mathrm{f} 为

f(x)={ax−x30≤x≤2,0其他情况，\mathrm{f}(x)=\begin{cases} ax-x^3 & 0\leq x\leq\sqrt{2},\\ 0 & \text{其他情况，} \end{cases}

其中 aa 为常数。

(a) 证明 a=2a=2。

(3)

(b) 求 XX 的中位数。

(4)

(c) 求 E(X)\mathrm{E}(X) 的精确值。

(3)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

密度归一化后代入上下限，解出a。

答题过程

展开 ∫02(ax−x3) dx= 1,[ax22−x44]02= 1,a−1= 1.\begin{align*} \int_0^{\sqrt2}(ax-x^3)\,\mathrm{d}x=&\,1,\\[4mm] \bigg[\frac{ax^2}{2}-\frac{x^4}{4}\bigg]_0^{\sqrt2}=&\,1,\\[4mm] a-1=&\,1. \end{align*}

Thus a=2\boxed{a=2}, as required.

(b)

解法一

思路

展开

从0至中位数的积分为一半。将关于m的四次方程视为关于m平方的二次方程，并用支持区间筛根。

答题过程

展开

Let mm be the median, where 0<m<20<m<\sqrt2. Then

∫0m(2x−x3) dx=12,\int_0^m(2x-x^3)\,\mathrm{d}x=\frac12,

so

m2−m44=12.m^2-\frac{m^4}{4}=\frac12.

Multiplying by 4 and rearranging gives

m4−4m2+2=0.m^4-4m^2+2=0.

Solving as a quadratic in m2m^2 gives

m2=4±16−82=2±2.m^2=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}2=2\pm\sqrt2.

Since 0<m2<20<m^2<2, only m2=2−2m^2=2-\sqrt2 is valid. Hence

m=2−2.\boxed{m=\sqrt{2-\sqrt2}}.

(c)

解法一

思路

展开

对x乘密度积分并代入根号2，保留精确根式。

答题过程

展开 E(X)= ∫02x(2x−x3) dx= [2x33−x55]02= 423−425= 8215.\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,\int_0^{\sqrt2}x(2x-x^3)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\bigg[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\bigg]_0^{\sqrt2}\\[4mm] =&\,\frac{4\sqrt2}{3}-\frac{4\sqrt2}{5}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{8\sqrt2}{15}}. \end{align*}