随机变量 $X$ 服从分布 $\mathrm{B}\big(8,\frac34\big)$。随机选取 $X$ 的 $100$ 个取值组成样本，并求出样本均值 $\overline{X}$。

(a) 求 $\mathrm{P}(\overline{X}>6.2)$。不要求使用连续性修正。

(b) 说明为什么在 (a) 的计算中需要使用中心极限定理。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先求单个二项变量的均值与方差，再转为样本均值的均值和方差；按题意不做连续性修正。

For $X\sim\mathrm B(8,3/4)$,

By the Central Limit Theorem, for a random sample of size $100$,

Without a continuity correction, as instructed,

原变量是二项分布而非正态；用中心极限定理来支持样本均值的正态近似。

The population distribution of $X$ is binomial, not normal. The Central Limit Theorem is needed to justify approximating the sample-mean distribution by a normal distribution for the large sample.