题目

Problem

(a) The random variables $W$ and $X$ have the independent distributions $\mathrm{Po}(1.2)$ and $\mathrm{Po}(2.3)$ respectively.

(i) Find $\mathrm{P}(3\le W+X\le 5)$ .

(2)

The random variable $S$ is the sum of $100$ independent values of $W$ and $200$ independent values of $X$ .

(ii) Use a suitable approximation to find $\mathrm{P}(S>600)$ .

(6)

(b) The random variable $Y$ has the distribution $\mathrm{Po}(\lambda)$ , where $\lambda>0$ .

It is given that $\frac52\mathrm{P}(Y=3)+\mathrm{P}(Y=4)=\mathrm{P}(Y=5)$ .

Find the value of $\lambda$ .

(3)

题目中文翻译

(a) 随机变量 $W$ 和 $X$ 相互独立，分别服从分布 $\mathrm{Po}(1.2)$ 和 $\mathrm{Po}(2.3)$ 。

(i) 求 $\mathrm{P}(3\le W+X\le 5)$ 。

(2)

随机变量 $S$ 是 $W$ 的 $100$ 个独立取值与 $X$ 的 $200$ 个独立取值之和。

(ii) 用一个合适的近似求 $\mathrm{P}(S>600)$ 。

(6)

(b) 随机变量 $Y$ 服从分布 $\mathrm{Po}(\lambda)$ ，其中 $\lambda>0$ 。

已知 $\frac52\mathrm{P}(Y=3)+\mathrm{P}(Y=4)=\mathrm{P}(Y=5)$ 。

求 $\lambda$ 的值。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)(i)

解法一

思路

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独立 Poisson 变量相加后参数为 $3.5$ ；题目两端都包含，逐项列出三、四、五的概率。

答题过程

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Since $W$ and $X$ are independent,

W+X\sim\mathrm{Po}(1.2+2.3)=\mathrm{Po}(3.5).

Thus

\begin{align*} &\,\mathrm P(3\le W+X\le5)\\[4mm] =&\,\mathrm e^{-3.5}\bigg(\frac{3.5^3}{3!}+\frac{3.5^4}{4!}\bigg)\\[4mm] &\,+\mathrm e^{-3.5}\frac{3.5^5}{5!}\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.537}. \end{align*}

(a)(ii)

解法一

思路

展开

大量独立观测值之和仍为 Poisson，其参数按两组样本量分别相加。参数足够大时再用正态近似并修正整数边界。

答题过程

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The sum has distribution

S\sim\mathrm{Po}(100(1.2)+200(2.3))=\mathrm{Po}(580).

Since $580>15$ , use $Y\sim\mathrm N(580,580)$ as an approximation. With a continuity correction,

\begin{align*} \mathrm P(S>600) =&\,\mathrm P(S\ge601)\\[4mm] \approx&\,\mathrm P(Y>600.5)\\[4mm] =&\,1-\Phi\bigg(\frac{600.5-580}{\sqrt{580}}\bigg)\\[4mm] =&\,1-\Phi(0.8512\ldots)\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.197}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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把三个 Poisson 单点概率代入，再约去正的共同因子；使用 $\lambda>0$ 排除失效除法与负根。

答题过程

展开

Substituting the Poisson probabilities,

\begin{align*} &\,\frac52\mathrm e^{-\lambda}\frac{\lambda^3}{3!}\\[4mm] &\,+\mathrm e^{-\lambda}\frac{\lambda^4}{4!}\\[4mm] =&\,\mathrm e^{-\lambda}\frac{\lambda^5}{5!}. \end{align*}

Since $\lambda>0$ , divide by $\mathrm e^{-\lambda}\lambda^3/120>0$ :

\begin{align*} 50+5\lambda=&\,\lambda^2,\\[4mm] \lambda^2-5\lambda-50=&\,0,\\[4mm] (\lambda-10)(\lambda+5)=&\,0. \end{align*}

Rejecting the negative root gives $\boxed{\lambda=10}$ .

CIE 9709 2025 June Paper 61 Q5

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程