题目

Problem

The random variable $X$ has probability density function given by

f(x)= \begin{cases} \frac{kx^2}{a^2} & 0\le x\le a,\\ 0 & \text{otherwise}, \end{cases}

where $k$ and $a$ are positive constants.

(a) Show that $k=\frac3a$ .

(3)

It is given that $\mathrm{E}(X)=1$ .

(b) Find the value of $a$ .

(3)

(c) Find the median of $X$ .

(3)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 的概率密度函数为

f(x)= \begin{cases} \frac{kx^2}{a^2} & 0\le x\le a,\\ 0 & \text{其他情况}, \end{cases}

其中 $k$ 和 $a$ 是正常数。

(a) 证明 $k=\frac3a$ 。

(3)

已知 $\mathrm{E}(X)=1$ 。

(b) 求 $a$ 的值。

(3)

(c) 求 $X$ 的中位数。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

概率密度总积分为一。保留 $a$ 的正性，合法约去它并推出归一化常数。

答题过程

展开

Since the total probability is $1$ ,

\begin{align*} \frac{k}{a^2}\int_0^a x^2\,\mathrm{d}x=&\,1,\\[4mm] \frac{k}{a^2}\bigg[\frac{x^3}{3}\bigg]_0^a=&\,1,\\[4mm] \frac{ka}{3}=&\,1. \end{align*}

Since $a>0$ , $\boxed{k=\frac3a}$ .

(b)

解法一

思路

展开

沿用(a)化简密度，积分得到期望，再用已给期望等于一求支持区间端点。

答题过程

展开

Using part (a), $f(x)=3x^2/a^3$ on $[0,a]$ . Therefore

\begin{align*} \mathrm E(X) =&\,\frac3{a^3}\int_0^a x^3\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac3{a^3}\bigg[\frac{x^4}{4}\bigg]_0^a\\[4mm] =&\,\frac{3a}{4}. \end{align*}

Since $\mathrm E(X)=1$ , $3a/4=1$ , giving $\boxed{a=\frac43}$ .

(c)

解法一

思路

展开

中位数左侧的积分为一半，使用(b)的支持区间端点。得到立方方程后选支持区间内的实根。

答题过程

展开

For $a=4/3$ , the density is $f(x)=81x^2/64$ on $[0,4/3]$ . Let $m$ be the median. Then

\begin{align*} \frac{81}{64}\int_0^m x^2\,\mathrm{d}x=&\,\frac12,\\[4mm] \frac{27m^3}{64}=&\,\frac12,\\[4mm] m^3=&\,\frac{32}{27}. \end{align*}

Hence $\boxed{m=\sqrt[3]{\frac{32}{27}}\approx1.06}$ , which lies within $[0,4/3]$ .

CIE 9709 2025 June Paper 62 Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程