Birgitte 有一枚六面骰子。她怀疑骰子不均匀，掷一次出现六点的概率 $p$ 小于 $\frac16$。她掷了 $30$ 次，发现恰有 $2$ 次出现六点。

(a) 用二项分布在 $5\%$ 的显著性水平下检验 Birgitte 的猜测。

后来，Birgitte 又掷了 $30$ 次，并在 $5\%$ 的显著性水平下进行类似的检验。

(b) 计算发生第一类错误的概率。

(c) 已知 $p$ 的实际值为 $0.02$，计算发生第二类错误的概率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

怀疑出现六点的概率偏小，所以用左尾二项检验；把零、一、二次都纳入尾概率。

Let $K$ be the number of sixes in $30$ throws. Test

Under $H_0$, $K\sim\mathrm B(30,1/6)$. For the observed $K=2$,

Since $0.103>0.05$, do not reject $H_0$. There is insufficient evidence at the $5\%$ level that the probability of a six is less than $1/6$, so Birgitte’s suspicion is not supported.

实际第一类错误概率来自可达到的整数拒绝域，不必恰等于名义的 $5\%$；结合(a)排除边界二，再检查边界一。

Under $H_0$,

Part (a) gives $\mathrm P(K\le2)\approx0.103>0.05$, so the critical region is $K\le1$. Therefore

真实概率变为 $0.02$ 时，检验仍只在至多一次六点时拒绝。第二类错误为至少两次六点。

When $p=0.02$, $K\sim\mathrm B(30,0.02)$. A Type II error occurs when $K\ge2$, so