某工厂生产的铅笔的长度服从正态分布。长度的标准差为 $\sigma\,\mathrm{cm}$，均值应为 $10\,\mathrm{cm}$。一名检验员认为实际均值大于 $10\,\mathrm{cm}$。他从该工厂生产的铅笔中随机抽取 $50$ 支，发现这 $50$ 支铅笔的平均长度为 $10.03\,\mathrm{cm}$。然后，他进行假设检验。

(a) 他发现检验统计量 $z$ 保留 $3$ 位小数后为 $1.995$。

(i) 计算 $\sigma$ 的值。

(ii) 在 $2.5\%$ 的显著性水平下进行假设检验。

(b) 说明在进行检验时是否有必要使用中心极限定理。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

反用样本均值检验统计量公式，分母是总体标准差除以样本量平方根。

Using the given statistic,

Thus

检验方向是平均长度增加，显著性水平 $2.5\%$ 的右尾临界值为 $1.96$；直接使用题目给出的未粗略舍入统计量。

Let $\mu$ be the population mean pencil length. Test

The critical value for an upper-tail test at the $2.5\%$ level is $1.96$. Since the given statistic is $1.995>1.96$, reject $H_0$.

There is sufficient evidence at the $2.5\%$ significance level that the population mean pencil length is greater than $10\ \text{cm}$.

总体长度已经正态，不需要依靠大样本的中心极限定理来得到样本均值正态。

No. The population distribution of pencil lengths is normal, so the sample mean is normally distributed without using the Central Limit Theorem.