一台机器将咖啡注入杯中。随机抽取 $150$ 杯咖啡，测量每杯中咖啡的体积 $V\,\mathrm{cm}^3$。结果汇总如下。

(a) (i) 计算总体均值 $\mu$ 和总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计值。

(ii) 计算 $\mu$ 的一个 $95\%$ 置信区间。

再随机抽取 $n$ 杯咖啡，其中 $100<n<120$。用这个样本计算 $\mu$ 的一个 $95\%$ 置信区间。可以假设对于大样本，$\sigma^2$ 的无偏估计值非常接近。

(b) 不进行计算，指出这个置信区间比 (a)(ii) 中所得的置信区间更宽还是更窄。说明理由。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用样本总量求均值，用 $n-1$ 作无偏方差分母，并保留未舍入分数供置信区间使用。

The unbiased estimate of the population mean is

For the variance,

样本量一百五十，使用样本均值的正态近似和(a)(i)的无偏方差估计。

By the Central Limit Theorem, for this large random sample an approximate $95\%$ confidence interval is

Thus the required interval is $\boxed{(305,\ 313)\text{ cm}^3}$ to $3$ significant figures.

按题目要求不计算具体宽度，只比较样本量与标准误的关系；估计方差近似相同已经给出。

The interval would be wider. The new sample size is less than $120$, hence smaller than $150$. With a similar variance estimate and the same confidence level, the smaller sample gives a larger standard error and greater uncertainty about the population mean.