题目

Problem

A random variable $X$ has probability density function given by

f(x)= \begin{cases} ax & 0\le x\le b,\\ 0 & \text{otherwise}, \end{cases}

where $a$ and $b$ are constants.

(a) Show that $a=\frac{2}{b^2}$ .

(3)

(b) Show that $\mathrm{P}(X<\mathrm{E}(X))=\frac49$ .

(6)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 的概率密度函数为

f(x)= \begin{cases} ax & 0\le x\le b,\\ 0 & \text{其他情况}, \end{cases}

其中 $a$ 和 $b$ 是常数。

(a) 证明 $a=\frac{2}{b^2}$ 。

(3)

(b) 证明 $\mathrm{P}(X<\mathrm{E}(X))=\frac49$ 。

(6)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

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密度总积分为一，从积分归一化推出参数关系。

答题过程

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A valid density requires $b>0$ and

\begin{align*} \int_0^b ax\,\mathrm{d}x=&\,1,\\[4mm] \bigg[\frac{ax^2}{2}\bigg]_0^b=&\,1,\\[4mm] \frac{ab^2}{2}=&\,1. \end{align*}

Therefore $\boxed{a=\frac2{b^2}}$ .

(b)

解法一

思路

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先积分求期望 $2b/3$ ，再把期望作为上限求左侧概率；最后所有参数消去。

答题过程

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Using part (a), $f(x)=2x/b^2$ on $[0,b]$ . Hence

\begin{align*} \mathrm E(X) =&\,\frac2{b^2}\int_0^b x^2\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac2{b^2}\bigg[\frac{x^3}{3}\bigg]_0^b\\[4mm] =&\,\frac{2b}{3}. \end{align*}

Since $0<2b/3<b$ ,

\begin{align*} &\,\mathrm P(X<\mathrm E(X))\\[4mm] =&\,\frac2{b^2}\int_0^{2b/3}x\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac2{b^2}\bigg[\frac{x^2}{2}\bigg]_0^{2b/3}\\[4mm] =&\,\frac2{b^2}\bigg(\frac{2b^2}{9}\bigg)\\[4mm] =&\,\boxed{\frac49}. \end{align*}

解法二

思路

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期望的计算沿用前一解法；求其左侧概率时，也可直接利用密度下三角形的面积或相似比。

答题过程

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The expectation calculation above gives $\mathrm E(X)=2b/3$ . The graph of $f(x)=ax$ is a straight line through the origin.

The full area under the density is a triangle of base $b$ and height $ab$ . The area to the left of $2b/3$ is a similar triangle with both base and height multiplied by $2/3$ .

Its area is therefore $(2/3)^2$ times the total area, which is $1$ . Thus

\begin{align*} \mathrm P(X<\mathrm E(X))=&\,\bigg(\frac23\bigg)^2\\[4mm] =&\,\boxed{\frac49}. \end{align*}

CIE 9709 2025 June Paper 63 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程