题目

Problem

The random variable $X$ has the distribution $\mathrm{Po}(1.5)$ . The sum of three independent values of $X$ is denoted by $S$ .

(a) Find $\mathrm{P}(S\le 3)$ .

(3)

(b) Show that the exact value of $\frac{\mathrm{P}(S\le 2)}{\mathrm{P}(S\le 1)}$ is $\frac{125}{44}$ .

(3)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 服从分布 $\mathrm{Po}(1.5)$ 。用 $S$ 表示 $X$ 的三个独立取值之和。

(a) 求 $\mathrm{P}(S\le 3)$ 。

(3)

(b) 证明 $\frac{\mathrm{P}(S\le 2)}{\mathrm{P}(S\le 1)}$ 的精确值为 $\frac{125}{44}$ 。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

独立 Poisson 观测值相加，参数相加；累计概率包含零到三。

答题过程

展开

Independence gives $S\sim\mathrm{Po}(3(1.5))=\mathrm{Po}(4.5)$ . Thus

\begin{align*} \mathrm P(S\le3)=&\,\mathrm e^{-4.5}(1+4.5)\\[4mm] &\,+\mathrm e^{-4.5}\bigg(\frac{4.5^2}{2!}+\frac{4.5^3}{3!}\bigg)\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.342}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

约去共同的指数因子，保留分数精确推出给定值。

答题过程

展开

Using $S\sim\mathrm{Po}(9/2)$ ,

\mathrm P(S\le1)=\mathrm e^{-9/2}\bigg(1+\frac92\bigg)=\frac{11}{2}\mathrm e^{-9/2},

and

\begin{align*} \mathrm P(S\le2)=&\,\mathrm e^{-9/2}\bigg(1+\frac92+\frac{(9/2)^2}{2}\bigg)\\[4mm] =&\,\frac{125}{8}\mathrm e^{-9/2}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \frac{\mathrm P(S\le2)}{\mathrm P(S\le1)}=&\,\frac{125/8}{11/2}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{125}{44}}. \end{align*}

CIE 9709 2025 June Paper 65 Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程