一家公司生产某种用电池供电的玩具。用 $X$ 小时表示电池使用寿命，$X$ 的总体均值应为 $12$。质量管理部门想检验 $X$ 的总体均值是否实际上小于 $12$。他们随机抽取 $50$ 个这种玩具进行测试，发现样本均值 $\overline{X}$ 为 $11.4$。

(a) 写出该检验适用的原假设与备择假设。

可以假设电池使用寿命的标准差为 $2.3$ 小时。

(b) 证明在 $5\%$ 的显著性水平下，$\overline{X}=11.4$ 会使原假设被拒绝。

(c) 已知在 $\alpha\%$ 的显著性水平下，$\overline{X}=11.4$ 会使原假设被拒绝。

求 $\alpha$ 的所有可能取值组成的集合。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

总体平均寿命降低对应左尾备择。

Let $\mu$ be the population mean battery life, in hours. Suitable hypotheses are

用大样本均值的正态近似，将观察值标准化并比较左尾临界值。

Under $H_0$, the Central Limit Theorem gives $\overline X\approx\mathrm N(12,2.3^2/50)$. The statistic is

The $5\%$ lower-tail critical value is $-1.645$. Since $-1.84463<-1.645$, the observation lies in the critical region, so $\boxed{H_0\text{ is rejected}}$.

单侧尾概率给出拒绝门槛；百分数参数需要乘以一百。

The observed lower-tail probability is

Using the convention that a result on the critical boundary is rejected, rejection occurs when $\alpha/100\ge p_0$. Thus, for the usual significance percentages $0<\alpha<100$,

Here

The lower threshold is approximately $3.25\%$, with the comparison made using the unrounded tail probability.