题目

Problem

The diagram shows the graph of the probability density function $f$ of a random variable $X$ . Between $x=0$ and $x=a$ the graph consists of a straight line through $O$ with gradient $k$ , where $k$ and $a$ are positive constants. Elsewhere $f(x)=0$ .

It is given that the median of $X$ is $\sqrt{2}$ .

(a) Find the value of $k$ .

(2)

(b) Find the value of $\mathrm{E}(X)$ .

(4)

题目中文翻译

图中给出随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f$ 的图像。在 $x=0$ 与 $x=a$ 之间，图像是过 $O$ 、斜率为 $k$ 的直线段，其中 $k$ 和 $a$ 是正的常数。其余各处 $f(x)=0$ 。

已知 $X$ 的中位数为 $\sqrt{2}$ 。

(a) 求 $k$ 的值。

(2)

(b) 求 $\mathrm{E}(X)$ 的值。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

用中位数左侧的概率为一半，积分求直线密度的斜率。

答题过程

展开

Since the median is $\sqrt2$ and $f(x)=kx$ ,

\begin{align*} \int_0^{\sqrt2}kx\,\mathrm{d}x=&\,\frac12,\\[4mm] \bigg[\frac{kx^2}{2}\bigg]_0^{\sqrt2}=&\,\frac12,\\[4mm] k=&\,\boxed{\frac12}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先归一化求支持区间端点，再积分求期望。

答题过程

展开

With $k=1/2$ , the density must satisfy

\begin{align*} \int_0^a\frac x2\,\mathrm{d}x=&\,1,\\[4mm] \frac{a^2}{4}=&\,1. \end{align*}

Since $a>0$ , $a=2$ . Hence

\begin{align*} \mathrm E(X)=&\,\int_0^2x\bigg(\frac x2\bigg)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\bigg[\frac{x^3}{6}\bigg]_0^2\\[4mm] =&\,\boxed{\frac43}. \end{align*}

CIE 9709 2025 June Paper 65 Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程