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CIE 9709 2026 June Paper 61 Q3

A Level / CIE / S2

CIE 9709 2026 June Paper 61 Paper · Question 3

题目

Problem

In the work done by a typesetting department, incorrect characters appear randomly and independently at a constant average rate of 55 incorrect characters per 100100 pages.

(a) A book that is typeset in the department contains 500500 pages. The number of incorrect characters in the book is denoted by XX.

(i) State the distribution of XX, including the values of any parameters.

(1)

(ii) State an appropriate approximating distribution for XX, including the values of any parameters.

Justify your choice of approximating distribution.

(2)

(iii) Use your approximating distribution to find P(X>35)\mathrm{P}(X>35).

(3)

(b) Another book that is typeset in the department contains nn pages. The probability that the book contains fewer than 1818 incorrect characters is less than 0.010.01.

Use an approximating distribution to find the largest possible value of nn.

(5)
题目中文翻译

在某排版部门的工作中，错字随机且相互独立地出现，平均速率恒为每 100100 页 55 个错字。

(a) 该部门排版的一本书有 500500 页。用 XX 表示这本书中的错字数。

(i) 写出 XX 的分布及其参数的值。

(1)

(ii) 写出 XX 的一个合适的近似分布及其参数的值。

说明选择这个近似分布的理由。

(2)

(iii) 用你选取的近似分布求 P(X>35)\mathrm{P}(X>35)。

(3)

(b) 该部门排版的另一本书有 nn 页。这本书的错字数少于 1818 的概率小于 0.010.01。

用近似分布求 nn 的最大可能值。

(5)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

题目勘误

官方原题：(b) 要求求 nn 的最大可能值。

实际上应为：在题设条件下，页数越多，错字数少于 1818 的概率越小，因此满足条件的页数没有最大值。官方评分标准使用近似分布求的是最小页数。

本页保留官方英文与忠实翻译。

解答

(a)(i)

解法一

思路

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错误随机、独立且平均速率恒定，适用 Poisson 分布；参数按页数比例放大。

答题过程

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The mean number of incorrect characters in 500500 pages is 5(500/100)=255(500/100)=25. Since the errors occur randomly and independently at a constant average rate,

X∼Po(25).\boxed{X\sim\mathrm{Po}(25)}.

(a)(ii)

解法一

思路

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Poisson 参数较大时可用正态近似，近似正态的均值和方差都等于该参数。

答题过程

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An appropriate approximation is

X≈N(25,25).\boxed{X\approx\mathrm N(25,25)}.

This is suitable because the Poisson mean is 2525, which is greater than 1515.

(a)(iii)

解法一

思路

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X>35X>35 是至少 3636，所以连续性修正的边界在 35.535.5，不是 34.534.5。

答题过程

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Let Y∼N(25,25)Y\sim\mathrm N(25,25). Using a continuity correction,

P(X>35)= P(X≥36)≈ P(Y>35.5)= 1−Φ(35.5−255)= 1−Φ(2.1)≈ 0.0179.\begin{align*} \mathrm P(X>35) =&\,\mathrm P(X\ge36)\\[4mm] \approx&\,\mathrm P(Y>35.5)\\[4mm] =&\,1-\Phi\bigg(\frac{35.5-25}{5}\bigg)\\[4mm] =&\,1-\Phi(2.1)\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.0179}. \end{align*}