用随机变量 $X$ 表示一个五面陀螺转动一次所得的分数，其概率分布如下表所示。

(a) 证明 $\mathrm{E}(X)=2.8$。

已知 $\operatorname{Var}(X)=1.16$。

将陀螺转动 $300$ 次。记录每次的得分，并求出这 $300$ 个分数的平均值 $\overline{X}$。

(b) 已知 $\mathrm{P}(2.8-k<\overline{X}<2.8+k)=0.2$，求 $k$ 的值。

(c) 解释为什么在回答 4(b) 时有必要使用中心极限定理。

(d) 对于另一个类似的陀螺，有人声称 $\mathrm{E}(X)=2.8$。Fred 怀疑这个值不正确。将陀螺转动 $300$ 次，所得的 $300$ 个分数的平均值为 $2.92$。

已知这个陀螺转动一次所得分数的方差也是 $1.16$，在 $5\%$ 的显著性水平下检验 Fred 的猜测。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

离散变量的期望是每个分数与其概率乘积的总和，必须展示算式来推出给定答案。

Using $\mathrm E(X)=\sum x\mathrm P(X=x)$,

先用中心极限定理写出样本均值的近似分布。中央概率只有 $0.2$，所以上端的累计概率是 $0.6$。

By the Central Limit Theorem, for $300$ independent spins,

Put $s=\sqrt{1.16/300}$. By symmetry,

Hence $k/s=\Phi^{-1}(0.6)\approx0.253347$, and

单次分数只有五个可能值，不能说它本身服从正态分布。正态近似的依据来自大量独立样本的均值。

The population distribution of $X$, the score on one spin, is discrete and is not normal. The Central Limit Theorem is therefore needed to justify approximating the distribution of the mean of the $300$ scores by a normal distribution.

怀疑均值“不正确”意味着双侧检验。标准化时用样本均值的标准差，结论只能说证据是否充分。

Let $\mu$ be the population mean score of the other spinner. Test

Under $H_0$, the mean of $300$ independent scores is approximately $\mathrm N(2.8,1.16/300)$. The test statistic is

For a two-tailed test at the $5\%$ significance level, the critical values are $\pm1.96$. Since $|1.930|<1.96$, do not reject $H_0$.

There is insufficient evidence at the $5\%$ level that the population mean score has changed from $2.8$, so Fred’s suspicion is not supported.