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CIE 9709 2026 June Paper 61 Q5

A Level / CIE / S2

CIE 9709 2026 June Paper 61 Paper · Question 5

题目

Problem

(a) XX and YY are independent random variables such that X∼Po(2.5)X\sim\mathrm{Po}(2.5) and Y∼Po(λ)Y\sim\mathrm{Po}(\lambda).

(i) Find P(1≤X≤3)\mathrm{P}(1\le X\le 3).

(2)

(ii) Given that P(X=5)=P(X+Y=0)\mathrm{P}(X=5)=\mathrm{P}(X+Y=0), find P(X+Y=1)\mathrm{P}(X+Y=1).

(4)

(b) The random variable WW has the distribution B(200,0.02)\mathrm{B}(200,0.02). It is given that, using the binomial distribution, P(W=2)=0.146\mathrm{P}(W=2)=0.146, correct to 33 decimal places.

Show that a suitable approximating distribution gives the same value of P(W=2)\mathrm{P}(W=2) correct to 22 decimal places, but not correct to 33 decimal places.

(4)
题目中文翻译

(a) XX 和 YY 是相互独立的随机变量，且 X∼Po(2.5)X\sim\mathrm{Po}(2.5)，Y∼Po(λ)Y\sim\mathrm{Po}(\lambda)。

(i) 求 P(1≤X≤3)\mathrm{P}(1\le X\le 3)。

(2)

(ii) 已知 P(X=5)=P(X+Y=0)\mathrm{P}(X=5)=\mathrm{P}(X+Y=0)，求 P(X+Y=1)\mathrm{P}(X+Y=1)。

(4)

(b) 随机变量 WW 服从分布 B(200,0.02)\mathrm{B}(200,0.02)。已知用二项分布得到 P(W=2)=0.146\mathrm{P}(W=2)=0.146，精确到小数点后 33 位。

证明用一个合适的近似分布求得的 P(W=2)\mathrm{P}(W=2) 与用二项分布求得的值在保留 22 位小数时相同，但在保留 33 位小数时不同。

(4)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

把包含的三个 Poisson 概率逐项写出，两个端点都要包含。

答题过程

展开

Since X∼Po(2.5)X\sim\mathrm{Po}(2.5),

P(1≤X≤3)= e−2.52.51! +e−2.52.522! +e−2.52.533!≈ 0.205212+0.256516+0.213763≈ 0.675.\begin{align*} \mathrm P(1\le X\le3) =&\,\mathrm e^{-2.5}\frac{2.5}{1!}\\[4mm] &\,+\mathrm e^{-2.5}\frac{2.5^2}{2!}\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\mathrm e^{-2.5}\frac{2.5^3}{3!}\\[4mm] \approx&\,0.205212+0.256516+0.213763\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.675}. \end{align*}

(a)(ii)

解法一

思路

展开

独立 Poisson 变量相加后参数相加。先用给定概率等式求 λ\lambda，再计算和为 11 的概率。

答题过程

展开

Independence gives

X+Y∼Po(2.5+λ).X+Y\sim\mathrm{Po}(2.5+\lambda).

Using P(X=5)=P(X+Y=0)\mathrm P(X=5)=\mathrm P(X+Y=0),

e−2.52.555!= e−(2.5+λ),e−λ= 2.55120,λ= −ln⁡(2.55120)≈ 0.206038.\begin{align*} \mathrm e^{-2.5}\frac{2.5^5}{5!}=&\,\mathrm e^{-(2.5+\lambda)},\\[4mm] \mathrm e^{-\lambda}=&\,\frac{2.5^5}{120},\\[4mm] \lambda=&\,-\ln\bigg(\frac{2.5^5}{120}\bigg)\\[4mm] \approx&\,0.206038. \end{align*}

Thus

P(X+Y=1)= (2.5+λ)e−(2.5+λ)≈ 2.706038e−2.706038≈ 0.181.\begin{align*} \mathrm P(X+Y=1) =&\,(2.5+\lambda)\mathrm e^{-(2.5+\lambda)}\\[4mm] \approx&\,2.706038\mathrm e^{-2.706038}\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.181}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

二项分布的 nn 大、pp 小，采用 Poisson 近似。为比较三位小数的差别，中间概率至少保留四位小数。

答题过程

展开

Since n=200n=200 is large and p=0.02p=0.02 is small, use the approximation

W≈Po(np)=Po(4).W\approx\mathrm{Po}(np)=\mathrm{Po}(4).

It gives

P(W=2)≈ e−4422!= 0.146525….\begin{align*} \mathrm P(W=2)\approx&\,\mathrm e^{-4}\frac{4^2}{2!}\\[4mm] =&\,0.146525\ldots. \end{align*}

The given binomial probability rounds to 0.1460.146 at 33 decimal places and hence to 0.150.15 at 22 decimal places. The Poisson value rounds to 0.1470.147 at 33 decimal places and to 0.150.15 at 22 decimal places.

Thus the two values agree to 2 decimal places\boxed{2\text{ decimal places}} but differ to 3 decimal places\boxed{3\text{ decimal places}}.