题目

Problem

A random variable $X$ has probability density function given by

f(x)= \begin{cases} \frac{8}{7}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x} & 0<x<\ln 2,\\ 0 & \text{otherwise}, \end{cases}

where $\lambda$ is a constant.

(a) Show that $\lambda=3$ .

(4)

(b) Use integration by parts to find $\mathrm{E}(X)$ .

(4)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 的概率密度函数为

f(x)= \begin{cases} \frac{8}{7}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x} & 0<x<\ln 2,\\ 0 & \text{其他情况}, \end{cases}

其中 $\lambda$ 是常数。

(a) 证明 $\lambda=3$ 。

(4)

(b) 用分部积分法求 $\mathrm{E}(X)$ 。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

密度的总积分必须为 $1$ 。从归一化条件推出参数，而不是把目标值代回去验证。

答题过程

展开

The total probability is $1$ , so

\begin{align*} \frac87\int_0^{\ln2}\lambda\mathrm e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x=&\,1,\\[4mm] \frac87[-\mathrm e^{-\lambda x}]_0^{\ln2}=&\,1,\\[4mm] \frac87(1-\mathrm e^{-\lambda\ln2})=&\,1,\\[4mm] \mathrm e^{-\lambda\ln2}=&\,\frac18=2^{-3}. \end{align*}

Since $\mathrm e^{-\lambda\ln2}=2^{-\lambda}$ , equating the exponents gives $\boxed{\lambda=3}$ .

(b)

解法一

思路

展开

用(a)把密度写成确定的指数函数；分部积分令 $u=x$ ，最后保留精确值。

答题过程

展开

Using $\lambda=3$ ,

\mathrm E(X)=\frac{24}7\int_0^{\ln2}x\mathrm e^{-3x}\,\mathrm{d}x.

Integrating by parts with $u=x$ and $\mathrm{d}v=\mathrm e^{-3x}\,\mathrm{d}x$ gives

\begin{align*} \mathrm E(X) =&\,\frac{24}7\bigg[-\mathrm e^{-3x}\bigg(\frac x3+\frac19\bigg)\bigg]_0^{\ln2}\\[4mm] =&\,-\frac{\ln2}7-\frac1{21}+\frac8{21}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac13-\frac{\ln2}7}\approx0.234. \end{align*}

CIE 9709 2026 June Paper 61 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程